bzoj1009 [HNOI2008]GT考试——KMP+矩阵快速幂优化DP

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1009

字符串计数DP问题啊...连题解都看了好多好久才明白，别提自己想出来的蒟蒻我...

首先要设计一个不太好想的状态：f[i][j]表示大串上到第 i 位时有小串前 j 位的后缀，且不包含整个小串的方案数；

也就是如果小串是 12312 ， f[5][3] 表示目前大串的情况是 **123... ；

这个状态要从 i 转移到 i+1 ，还需要一个帮助它的数组 a，a[i][j]表示在长度为 i 的后缀后面加一个数字能变成长度为 j 的后缀的方案数；

也就是说，对于 12312，从0到4的 a 数组应该如下：

9 1 0 0 0

8 1 1 0 0

8 1 0 1 0

9 0 0 0 1

8 1 0 0 0

a 数组的定义可以联想到 kmp 算法，事实上它就是通过 kmp 算法的 nxt 数组求得；

于是就可以得到转移方程：f[i][j] = ∑(0<=k<m) f[i-1][k] * a[k][j]

然后发现对于每一步，进行的转移都是相同的；

所以可以用矩阵快速幂来优化，转移矩阵就是 a 数组；

看了好多好多博客才明白...

这篇博客写得很好：https://blog.csdn.net/loi_dqs/article/details/50897662

尤其是代码真的简洁！所以模仿着写了。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m,mod,nxt[25],sum;
char s[25];
struct Matrix{
    int n,m,a[25][25];
    Matrix(int x=0,int y=0):n(x),m(y) {memset(a,0,sizeof a);}
    void init()
    {
        for(int i=0;i<n;i++)a[i][i]=1;//0 ~ n-1
    }
    Matrix operator * (const Matrix &y) const
    {
        Matrix x(n,y.m);
        for(int i=0;i<n;i++)//从0到n-1 
            for(int k=0;k<m;k++)
                for(int j=0;j<y.m;j++)
                    (x.a[i][j]+=(ll)a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%=mod;
        return x;
    }
};
void getnxt()
{
    nxt[0]=nxt[1]=0;//第0位有字符，但含义是无匹配 
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
//        int k=i;
        int k=nxt[i];
        while(s[i]!=s[k]&&k)k=nxt[k];
        nxt[i+1]=(s[i]==s[k])?k+1:0;//前一位的nxt冒进一位，对应下面从0开始的字符串匹配 
    }
}
Matrix pw(Matrix x,int k)
{
    Matrix ret(x.n,x.m); ret.init();
    for(;k;k>>=1,x=x*x)
        if(k&1)ret=ret*x;
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,&s);
    getnxt();
    Matrix f(m,m);
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j='0';j<='9';j++)//第i位上填j 
        {
            int k=i;//已经有长度为i的前缀，而k对应字符串上i的后一位 
            while(k&&s[k]!=j)k=nxt[k];//冒进一位的nxt，表示给i后一位进行匹配 
            if(s[k]==j)k++;//匹配到了第k位，也就是有了k+1长度的前缀
            if(k!=m)f.a[i][k]++; 
        }
    Matrix fn=pw(f,n);
    Matrix ans(1,m);
    ans.a[0][0]=1; ans=ans*fn;
    for(int i=0;i<m;i++)
        (sum+=ans.a[0][i])%=mod;
    printf("%d",sum);
    return 0;
}