【先言】：
以前整理过数论知识，自以为自己很(np) 一样，写一个会一个，殊不知还是一行代码想一天的崽 。 什么都不会，还装的自己很(np)的崽，今天还是来从基础的，慢慢一点一点的来吧。
【一些约定】：
我们规定(gcd(x,y))表示的是(x,y)的最大公约数，同时(lcm(x,y))规定为最小公倍数。
规定(a|b)表示(a)能够乘除(b)。
规定(a mod b)表示(a) %(b)
欧几里得定理（辗转相除法）:
由于笔者太菜，无法说明其到底是个什么东西，但是它有$gcd(x,y) = $$gcd(x mod y , y)(这么一个定理。 我们首先举出一个例子，求解)gcd(6,4)(，按照上方的式子，)gcd (6,4) = gcd(2 , 4) = gcd(0 , 2) = 2$，然后我们就发现和我们口算的是一样的。
证明 ， 设(gcd(x,y) = d)
先来证明(x mod y)是最大公约数的倍数
首先，令(x = k_1 imes d , y = k_2 imes d)， 我们选取一个一般情况的式子 ， 设为(x = k imes r + m) , 同时移项可以得到 $m = x - r imes y (，把)x ,y$ 带入其中，得到 (m = k_1 imes d - r imes k_2 imes d) ,也就是(m = (k_1 - r * k_2) imes d),然后我们就知道了(m)必然是最大公约数的一个倍数，同时，(y = k_2 imes d) ,也必然为成立。
接下来证明为什么是最大的 ，
感性理解一下，由于我们搞出来的(x mod y)是单调不增的,那么我们的值一旦找到，可不就是最大的。
下面予以严谨的反证法证明。
笔者正尝试着证明，如有急需，可参考文献,也可以用着上面的感性的理解。
【(Code)】:其实没什么必要写了 ，就是一个递归式
int gcd(int x , int y)
{
if(x == 0) return y ;
else return gcd(x % y , y ) ;
}
没有什么例题，就是非常基础的欧几里得算法，可能真的有人和我一样，不会证明。
既然欧几里得证明完成了，但是我们的整除部分还没有上台，先让乘除部分上台。
整除
【定义】： 如果(x) % (y==0) , 我们就说， (y)整除(x) ,记做（上方有约定，但是还是说一下） ， (y|x) ,
【性质】 ：（从数竞同学那里嫖来的）
1.若(b|a) ,则(b|(-a) , -b|a , (-b) |(-a) , |b| | |a|) （最后面的是两个绝对值）
2.满足转移性： 若(a|b) , (b|c) ,则(a|c)
3.若(a,b,cin Z) ，且(a|b , a|c),则(a|(b±c) , a| mb , a | mc , a | m(b±c)),（(mb)代表(m imes b),没有骂人的意思，也不是(mb)那一个变量的意思，不会吧，不会吧，还有人不知道吗？）
我们可以将其进行一下推广到一般情况：
若(a_i,b_i,c_i in Z , i = 1 , 2 , 3 … n)，并且满足(a_i | b_i),则有(a|sumlimits_{i=1}^{n} b_i imes c_i)，比较显然吧。
4.设(a,bin Z),且(a|b) ,则对于任意的(m in Z) ,都满足(am | bm) ,这是个充要条件。
5.若(|a| < |b|) , 且(|b| | |a|) ,则(a = 0)
6.若(a,b)互素，且(p|prodlimits_{i = 1}^{n} a_i),则在(a_1 ,a_2…a_n)中，至少有一个(a_i),满足(p | a_i)
7.若(a,b)互素，且(a|b imes c) ,则(a|c)
8.(n)个连续整数的乘积必然能被(n!)整除。
9.若(p)为素数，对任意的正整数(n)，都满足(p | (n ^p - n)).这性质叫做费马小定理，证明在求解逆元时会予以证明。
费马小定理的一个推论 ： 若(p)为素数，且 (p ot | n),则(p | (n ^{p-1} - 1)).
不得不说，数竞同学真香。
在证明整除问题时，常见的思考途径为：设法在表达式中先分析取出某一个数的倍数，再证明其余部分为零，或将整数按余数分类讨论，利用抽屉原理，或根据数的整除特征进行分析、 ------------葛军《新编高中数学奥赛指导》
同时既然了解了什么是整除，那么了解一下，什么叫做互素 ， 互素也就是互质。
质数也就是除了1 或者它本身，不能被其他的整数整除，这就是质数（1除外，1什么也不是）
算术基本定理（唯一分解定理）：
任何一个大于1的正整数都能唯一分解有限个质数的乘积。
(p={prod {p_1}^i{p_2}^j{p_3}^k…{p_n}^x})
其中 (p_1,p_2,p_3……p_n)均为质数，
**2. 质数分布定理：
对正实数(x),定义(π（x）=x|in(x))为不大于(x)的质数个数