欧拉函数:对正整数n,欧拉函数是小于n的数中与n互质的数的数目。
通式:
,其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4。
若n是质数p的k次幂,,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
c++实现:
1 /*线性筛O(n)时间复杂度内筛出maxn内欧拉函数值*/ 2 int m[maxn],phi[maxn],p[maxn],pt;//m[i]是i的最小素因数,p是素数,pt是素数个数 3 4 int make() 5 { 6 phi[1]=1; 7 int N=maxn; 8 int k; 9 for(int i=2;i<N;i++) 10 { 11 if(!m[i])//i是素数 12 p[pt++]=m[i]=i,phi[i]=i-1; 13 for(int j=0;j<pt&&(k=p[j]*i)<N;j++) 14 { 15 m[k]=p[j]; 16 if(m[i]==p[j])//为了保证以后的数不被再筛,要break 17 { 18 phi[k]=phi[i]*p[j]; 19 /*这里的phi[k]与phi[i]后面的∏(p[i]-1)/p[i]都一样(m[i]==p[j])只差一个p[j],就可以保证∏(p[i]-1)/p[i]前面也一样了*/ 20 break; 21 } 22 else 23 phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);//积性函数性质,f(i*k)=f(i)*f(k) 24 } 25 } 26 }