[HNOI2009]有趣的数列

[HNOI2009]有趣的数列

有一个长度为2n的1~2n的全排列，保证其奇数项递增，偶数项递增，并且相邻的奇数项和偶数项，后面的偶数项大于奇数项的方案数(mod p,n<=1000000,P<=1000000000)。

解

注意到2n，实际上也就猜到它可能为catalan数列了，再看看样例，(1,2,5,14),显然为catalan数，故可以猜测为catalan数，在套个质因数分解阶乘求组合数上去就可以了。

现在在于如何证明，注意到元素不为2个，于是考虑已学模型有多个元素的自然也只有栈，于是考虑去构造栈的模型，因为有递增的要求，所以入栈序必然要让其为递增的，即有1~2n等着去入栈，显然每次入栈的数要比前面都要大，然而又要想办法把它压到n个元素，栈只有n个元素，于是自然会给出两个容器，一个装奇数，一个装偶数，自然奇数容器里面会是递增的，而偶数容器也一样，但是问题在于偶数容器里面是否能保证每个偶数都要对应比奇数大，显然按照我们这种入栈的方式，只要保证任意一次操作偶数入栈的数量比奇数入栈次数少即可，于是也就成功地转化成了catalan模型。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
bool check[2000001];
int yyb,prime[200000],pt;
il void sieve(int);
il int cat(int),pow(int,int);
int main(){
    int n;
    scanf("%d%d",&n,&yyb),sieve(n<<1);
    printf("%d",cat(n));
    return 0;
}
il void sieve(int n){
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;++i){
        if(!check[i])prime[++pt]=i;
        for(j=1;j<=pt&&prime[j]<=n/i;++j){
            check[i*prime[j]]|=true;
            if(!(i%prime[j]))break;
        }
    }
}
il int pow(int x,int y){
    int ans(1);while(y){
        if(y&1)ans=(ll)ans*x%yyb;
        x=(ll)x*x%yyb,y>>=1;
    }return ans;
}
il int cat(int n){
    int n2(n<<1),i,j,tr(0),xdk(n+1),
        ans(1);
    for(i=1;i<=pt;++i,tr&=0){
        for(j=n2;j;j/=prime[i])tr+=j/prime[i];
        for(j=n;j;j/=prime[i])tr-=j/prime[i]<<1;
        while(!(xdk%prime[i]))xdk/=prime[i],--tr;
        ans=(ll)ans*pow(prime[i],tr)%yyb;
    }return ans;
}