Longge's problem

Longge's problem

求(sum_{i=1}^ngcd(i,n)),(n< 2^{31})。

解

理解1：

注意式子的实际意义，显然答案只可能在n的约数中，而现在问题变成了每个约数出现了几次,而一个约数d要出现的次数，自然需要这个数有约数d，其他的约数与之互斥，于是考虑欧拉函数，故我们有

[ans=sum_{d|n}varphi(n/d)d ]

以此枚举n的约数爆算即可，时间复杂度不难得知为(O(sigma(n)sqrt{n}))。

理解2：

约数计数问题，考虑反演，于是有

[ans=sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^n(gcd(i,n)==d) ]

设

[f(d)=sum_{i=1}^n(gcd(i,n)==d) ]

[F(d)=[n/d](d|n) ]

由Mobius反演定理，带入原式我们有

[ans==sum_{d=1}dsum_{d|x,x|n}[n/x]mu(x/d)= ]

[sum_{x|n}[n/x]sum_{d|x}dmu(x/d)=sum_{x|n}[n/x]varphi(x) ]

同理解1做法即可。

于是我们可以小结一下，同排列组合一样，约数计数问题，也有它的实际意义的理解，两者侧重点不同，一个侧重思维，一个侧重代数变换，但是殊途同归，而且不难得知最后的答案其实就是(varphi *id)，我们可以使用杜教筛对之优化，数据范围可以出到(10^{11})，但无论如何，重点都在于对于约数的巧妙的理解。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
using namespace std;
il ll Phi(ll);
int main(){
    ll ans,n,i;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        for(ans&=0,i=1;i*i<n;++i)
            if(!(n%i)){
                ans+=(n/i)*Phi(i);
                ans+=(i)*Phi(n/i);
            }
        if(i*i==n)ans+=i*Phi(i);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}
il ll Phi(ll n){
    ri ll i,ans(n);
    for(i=2;i<=n/i;++i)
        if(!(n%i)){
            (ans/=i)*=(i-1);
            while(!(n%i))n/=i;
        }if(n>1)(ans/=n)*=(n-1);
    return ans;
}