A-03 牛顿法和拟牛顿法

目录

• 牛顿法和拟牛顿法
• 一、牛顿法详解
  • 1.1 无约束最优化问题
  • 1.2 牛顿法迭代公式
  • 1.3 牛顿法和梯度下降法
• 二、牛顿法流程
  • 2.1 输入
  • 2.2 输出
  • 2.3 流程
• 三、拟牛顿法简介

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牛顿法和拟牛顿法

牛顿法(Newton method)和拟牛顿法(quasi-Newton method)和梯度下降法一样也是求解最优化问题的常用方法，但是他们的收敛速度比梯度下降法快。牛顿法是迭代算法，每一步都需要求目标函数的海森矩阵的逆矩阵，计算复杂；拟牛顿法通过正定矩阵近似海森矩阵的逆矩阵，简化这个计算过程。

一、牛顿法详解

1.1 无约束最优化问题

对于一个约束问题

min������x∈Rnf(x)$$\underset{x\in R^n}{\underbrace{min}}f(x)$$

其中x∗$x^{\ast }$为目标函数的极小点。

1.2 牛顿法迭代公式

假设f(x)$f(x)$具有二阶连续偏导数，如果第k$k$次迭代值为x(k)$x^{(k)}$，则可以把f(x)$f(x)$在x(k)$x^{(k)}$附近使用二阶泰勒展开

f(x)=f(x(k))+gTk(x−x(k))+12(x−x(k))TH(x(k))(x−x(k))$$f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)}{)}^{T}H(x^{(k)})(x-x^{(k)})$$

其中gk=g(x(k))=∇f(x(k))$g_k=g(x^{(k)})=\mathrm{\nabla }f(x^{(k)})$是f(x)$f(x)$的梯度向量在点x(k)$x^{(k)}$的值，H(x(k))$H(x^{(k)})$是f(x)$f(x)$的海森矩阵

H(x)=[∂2f∂xi∂xj]m∗n$$H(x)=[\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}f}{\mathrm{\partial }{x}_i\mathrm{\partial }{x}_j}{]}_{m\ast n}$$

在点x(k)$x^{(k)}$的值。函数f(x)$f(x)$有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0。特别是当H(x(k))$H(x^{(k)})$是正定矩阵的时候，函数f(x)$f(x)$的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件

∇f(x)=0$$\mathrm{\nabla }f(x)=0$$

每次迭代中从点x(k)$x^{(k)}$开始，求目标函数的极小点，作为第k+1$k+1$次迭代值x(k+1)$x^{(k+1)}$，即假设x(k+1)$x^{(k+1)}$满足

∇f(x(k+1)=0$$\mathrm{\nabla }f(x^{(k+1)}=0$$

通过泰勒二阶展开式即可得

∇f(x)=gk+Hk(x−x(k))$$\mathrm{\nabla }f(x)=g_k+H_k(x-x^{(k)})$$

其中Hk=H(x(k))$H_k=H(x^{(k)})$，由此∇f(x(k+1)=0$\mathrm{\nabla }f(x^{(k+1)}=0$变成

gk+Hk(x(k+1)−x(k))=0$$g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)})=0$$

因此

x(k+1)=x(k)−H−1kgk$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k$$

或

x(k+1)=x(k)+pk$$x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k$$

其中

x(k+1)=x(k)−H−1kgk=x(k)+pk−H−1kgk=pkHkpk=−gk(1)(2)(3)$$\begin{array}{}\text{(1)}& & x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k=x^{(k)}+p_k\text{(2)}& & -H_k^{-1}{g}_k=p_k\text{(3)}& & H_k{p}_k=-g_k\end{array}$$

使用x(k+1)=x(k)−H−1kgk$x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k$作为迭代公式的算法就是牛顿法。

1.3 牛顿法和梯度下降法

从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。

虽然牛顿法看起来比梯度下降法好很多，但是别忘记了牛顿法迭代过程中需要计算海森矩阵的逆矩阵，如果数据量较大的话，牛顿法的计算开销将远远大于梯度下降法。

二、牛顿法流程

2.1 输入

目标函数f(x)$f(x)$，梯度g(x)=∇f(x)$g(x)=\mathrm{\nabla }f(x)$，海森矩阵H(x)$H(x)$，精度要求ϵ$ϵ$

2.2 输出

f(x)$f(x)$的极小点x∗$x^{\ast }$

2.3 流程

1. 取初始点x(0)$x^{(0)}$，并且让k=0$k=0$
2. 计算gk=g(x(k))$g_k=g(x^{(k)})$
3. 如果||gk||≤ϵ$||g_k||\le ϵ$，停止计算，得到近似解x∗=x(k)$x^{\ast }=x^{(k)}$
4. 计算Hk=H(x(k))$H_k=H(x^{(k)})$，并求出pk$p_k$

Hkpk=−gk$$H_k{p}_k=-g_k$$

5. 让x(k+1)=x(k)+pk$x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k$
6. 让k=k+1$k=k+1$，转到第2步

在第4步求pk$p_k$的时候，pk=−H−1kgk$p_k=-H_k^{-1}{g}_k$，要求求海森矩阵的逆矩阵H−1k$H_k^{-1}$，计算会比较复杂。

三、拟牛顿法简介

在牛顿法的迭代中，需要计算海森矩阵的逆矩阵H−1$H^{-1}$，这个过程是比较复杂的，而拟牛顿法则使用了一个n$n$阶矩阵Gk=G(x(k))$G_k=G(x^{(k)})$近似替代H−1k=H−1(x(k))$H_k^{-1}=H^{-1}(x^{(k)})$，此处不多赘述。