Problem
有一个序列，初始时为空，你会不断往序列末尾添加一个 ([1, m]) 的随机整数。
任意时刻
-
若序列末尾两个数相同（记为 (x)），且小于 (t)，则这两个数会合并成 (x+1)；
-
若序列长度为 (n) 且无法合并，则操作结束。
求序列中所有元素和的期望，答案对 (10^9+7) 取模。
(1leq n,mleq 10^3)，(mleq tleq 10^9)
Solution
记 (L=min{t, n+m-1})。
(p_{i,j})：限制序列长度为 (i)，第一个位置出现 (j) 的概率。
[p_{i,j}=[jleq m]frac1m+p_{i,j-1} imes p_{i-1,j-1}
]
(q_{i,j})：限制序列长度为 (i)，第一个位置为 (j) 下，之后不再改变的概率。
[q_{i,j}=1-[j<L]p_{i-1,j}
]
(g_{i,j})：限制序列长度为 (i)，第一个位置为 (j)，且之后不再改变后，整个序列的期望。
(ans_i)：序列长度为 (i) 时，权值和的期望。
(f_{i,j})：序列长度为 (i)，第一个数字出现 (j) 时，序列元素权值和。
(j<L) 时，
[egin{aligned}
g_{i,j}&=j+sum_{S}S imesPr{第2到i权值和为S|第1个为j，且j不变}\
&=j+frac{sum_{S}S imesPr{第2到i权值和为S，j不改变|第1个为j}}{Pr{j不改变|第1个为j}}\
&=j+frac{sum_{S}S imesPr{第2到i权值和为S，j不改变|第1个为j}}{q_{i,j}}\
&=j+frac{sum_{S}S imesPr{第2到i权值和为S，j任意|第1个为j}-sum_{S}S imesPr{第2到i权值和为S，j改变|第1个为j}}{q_{i,j}}\
&=j+frac{ans_{i-1}-Pr{第2个为j} imessum_S S imesPr{第2到i权值和为S|第2个为j}}{q_{i,j}}\
&=j+frac{ans_{i-1}-p_{i-1,j} imes f_{i-1,j}}{q_{i,j}}
end{aligned}
]
(j=L) 时，
[g_{i,j}=j+ans_{i-1}
]
对于 (ans_i)：
[ans_i=sum_{j=1}^Lp_{i,j} imes q_{i,j} imes g_{i,j}
]
对于 (f_{i,j})：
[f_{i,j}=q_{i,j} imes g_{i,j}+(1-q_{i,j}) imes f_{i,j+1}
]
为了避免求逆元，将 (g_{i,j} imes q_{i,j}) 整体转移。复杂度 (mathcal O(nm))。
Code
#include <bits/stdc++.h>
const int N = 2005, P = 1e9 + 7;
using std::min;
int n, m, t, L, f[N][N], qg[N][N], p[N][N], q[N][N], ans[N];
int qpow(int a, int b) {
int t = 1;
for (; b; b >>= 1, a = 1LL * a * a % P)
if (b & 1) t = 1LL * t * a % P;
return t;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &t); L = min(n + m - 1, t);
int inv = qpow(m, P-2);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= L; j++) {
p[i][j] = ((j <= m ? inv : 0) + 1LL * p[i][j - 1] * p[i - 1][j - 1]) % P;
q[i][j] = (1 - (j < L ? p[i - 1][j] : 0) + P) % P;
}
for (int j = L; j; j--) {
qg[i][j] = (1LL * q[i][j] * j + ans[i - 1] - (j < L ? 1LL * p[i - 1][j] * f[i - 1][j] % P : 0) + P) % P;
f[i][j] = (qg[i][j] + (j < L ? 1LL * (1 - q[i][j] + P) * f[i][j + 1] : 0)) % P;
ans[i] = (ans[i] + 1LL * p[i][j] * qg[i][j]) % P;
}
}
printf("%d
", ans[n]);
return 0;
}