[CF1534G]A New Beginning

problem

网格图上给定 (n) 个整点 ((x_i,y_i))，你初始在 ((0,0))，每次只能向右或者向上走一格。你在任意位置时可以给任意若干个点打标记，假设当前位置为 ((X,Y))，每次给第 (i) 个点打标记的代价为 (max(|X-x_i|,|Y-y_i|))。

最小化给所有点打标记的代价和。

(nle 8 imes 10^5)，(0le x_i,y_ile 10^9)。

sol

首先对于该题，有如下引理：假设通过点 ((x_i,y_i)) 的直线 (y=-x+c)，则最小代价为你走的路线与该直线相交时的代价。这个引理很显然。

接下来我们把平面旋转 (45^{circ})，让坐标点 ((x,y) ightarrow (x',y')=(x+y,x-y))，这样对于 (x) 相同的点，对应的直线是同一条。

设 (f_{x,y}) 表示在转换后的图上，走到 ((x,y)) 处最小代价。假设前面横坐标最大的位置为 (x=a)，则 (f_xleftarrow f_a)，具体来说，有

[f_{x,y}=min{f_{a,b}}+w(x,y),y-(x-a)le ble y+(x-a) ]

其中 (w(x,y)) 表示 (sum_{x_i'=x}|y_i'-y|)。这样 DP 的复杂度为 (mathcal O(ncdot 10^9))，考虑优化。

首先，(w(x,y)) 关于 (y) 是凸的，对于 (f_{a,b}) 关于 (b) 如果是凸的，(min{f_{a,b}}) 也是凸的。所以维护凸函数即可。对于 (min{a,b})，相当于在凸函数左半边向左平移 (x-a)，右半部分向右偏移 (x-a)，这个偏移可以记录到全局中。所有操作用堆维护，由此题性质，最优解从凸函数最小值转移。复杂度 (mathcal O(nlog n))。

Code

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 8e5 + 5;
int n;
struct point { int x, y; } a[N];
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
		a[i] = {x + y, x - y};
	}
	std::sort(a + 1, a + n + 1, [](point a, point b) { return a.x < b.x; });
	std::priority_queue<int> pa, pb;
	ll ans = 0; pa.push(0), pb.push(0);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll x = a[i].x, y = a[i].y;
		ans += std::max({pa.top() - x - y, y + pb.top() - x, 0ll});
		if (-pb.top() > y - x)
			pa.push(y + x), pa.push(y + x), pb.push(-(pa.top() - 2 * x)), pa.pop();
		else
			pb.push(-(y - x)), pb.push(-(y - x)), pa.push(-pb.top() + 2 * x), pb.pop();
	}
	ans /= 2;
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}