[NOI2017]蔬菜

Problem

你有 (n) 种疏巨，每销售一个单位第 (i) 种疏巨，获利 (a_i) 元。第一次销售额外获利 (s_i) 元。开始时有 (c_i) 单位，每天会变质 (x_i) 份。每天你最多可以销售 (m) 单位疏巨。

(k) 组询问，每次询问销售 (p) 天，获利最大值。

Sol

( m orz~mathtt{color{black}Scolor{red}{yksykCCC}})

首先第一下很容易会想贪心：每天选择剩余获利最多的疏巨销售，这样子貌似很优秀。但反例也不难举出来：两种疏巨，一种收益很低，但变质很快；一种收益很高，但不会变质（或变质很慢），询问的天数很长，这样我们肯定先选变质快的，再慢慢悠悠地选择不变变质的，这样在总量上会变多。

顺着这个角度思考，发现如果天数短的话肯定优先选择收益高的疏巨（因为肯定销售不完）。

我们会发现：对于一种疏巨，满足销量的前提下，尽可能迟地销售，这样就可以为其它需要早早销售的疏巨腾出空间。

假设第 (i) 种疏巨在销售 (d_i) 份时，能够允许的时间为 (t_i)，可以得到两个方程

[egin{cases} egin{aligned} t_igelceilfrac{d_i}{m} ceil end{aligned}\ x_i(t_i-1)+d_ile c_i end{cases} ]

解得

[lceilfrac{d_i}m ceille t_ilelfloorfrac{c_i-d_i}{x_i} floor+1 ]

我们希望其能尽可能迟地销售，则需要取一个 (T_i=t_{i,max}=lfloorfrac{c_i-d_i}{x_i} floor+1)，同时要满足 (T_igelceilfrac{d_i}m ceil)。

这样转化以后我们会得到一组 ((d_i,T_i)) 的值。分析一组取值合法的条件，我们按照 (T) 从大到小排序，假设排序后变成 ((d_{p_1},T_{p_1}),(d_{p_2},T_{p_2}),cdots)，按照这样的顺序依次选，直接描述就是 必须任意时刻下都能合法地选够 (m) 份疏巨，使用数学语言描述就是

[forall i>0,sum_{k=1}^{i-1}d_{p_k}ge m(p-T_{p_i}) ]

（大白话就是前面的所有 (d) 够塞满后 (p-T) 天的销量）

下面考虑多销售一份疏巨时会发生什么变化。某一种疏巨的 (d) 会增加，(T) 可能会减小，如果没减小，式子仍然成立，无事发生；如果减小，只会影响其中的一个不等式（右端 (+m)），但也有可能使得排名发生改变，总结下来就是某一项右边 (+m)，某个前缀的所有不等式组，左边项 (+1)。但不可能一个不等式 (+m)，一个不等式 (+1)。

维护这样的东西即可，每次选择能贪到的最大权来贪一贪就行了。证明感性理解？（反正可以建费用流模型，贪心不会错，好吧其实我不会证）。

仔细思考使用堆维护，复杂度 (mathcal O(max p_i imes mlog n))。注意要先做 (p) 最大的情况，然后再退回来做（每次把不好的疏巨丢了），要不然 (p) 增加的时候不等式不满足条件了。

Code

（咕咕咕）