求1~N 的数中因子是最多的数

求1~N当中约数个数最多的数”问题的优化

2010-04-13 20:56

【问题描述】

求1~N当中约数个数最多的数，若有多解则输出最小的数。

【输入格式】

输入文件只有一行。这一行有一个数N（1≤N<10^17）。

【输出格式】

输出文件只有一行。这一行有一个数，即所求的数。

【输入样例】

2000

【输出样例】

1680

题目分析：

（1）此题最容易想到的是穷举，但是肯定超时。

（2）我们可以知道，计算约数的个数和质因数分解有着很大的联系：

若Q的质因数分解为：Q=p1^k1*p2^k2*…*pm^km（p1…pm为素数，k1…km≥1），则Q有(k1+1)(k2+1)…(km+1)个约数。

但是质因数分解的时间复杂度很高，所以也会超时。

（3）通过以上的公式，我们可以“突发奇想”：为何不能把质因数分解的过程反过来呢？

这个算法就是枚举每一个素数。初始时让m=1，然后从最小的素数2开始枚举，枚举因子中包含0个2、1个2、2个2…k个2，直至m*2^k大于区间的上限N。在这个基础上枚举3、5、7……的情况，算出现在已经得到的m的约数个数，同时与原有的记录进行比较和替换。直至所有的情况都被判定过了。

这个算法的优化：如果p1*p2*p3*……*pk>N（pi表示第i个素数），那么只要枚举到p k-1，既不浪费时间，也不会遗漏。

根据以上的算法，对于上限需要枚举436555171个数，也会超时，不过可以过70-80%的数据。

（4）以上的算法还不是最好的，还可以继续优化。

我们看以下的例子：

6=2*3 10=2*5

6和10的质因数分解“模式”完全相同，所以它们的约数个数是相同的。但是由于3<5，所以6<10。

12=2^2*3 18=3^2*2

12和18的质因数分解“模式”完全相同，所以它们的约数个数是相同的。但是由于12的质因数分解中2的指数大于3的指数，18的质因数分解中3的指数大于2的指数，所以12<18。

根据以上的举例，我们也可以对（3）中的算法进行一个改进：可以在枚举时进行一个优化，使得枚举到的数字中2的指数不小于3的指数，3的指数不小于5的指数……这样我们就能够得到质因数分解“模式”相同的最小数（证明略）。再对于每一个得到的数进行比较和记录。这个算法对于上限只需要枚举34136个数，几乎达到了极限。

参考程序：

const a:array[1..15]of integer=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47);
var n,num:qword;
max,j:longint;
s:string;
procedure shu(m:qword;f,t,x:longint); {m为当前的数，f为当前枚举的素数，t为当前数的约数个数，x为指数的限制}
var i:qword;
j,l,p:longint;
begin
if (t>max)or((t=max)and(m<num)) then begin num:=m;max:=t;end;
j:=0;l:=1;i:=m;
repeat
j:=j+1;l:=l+1;i:=i*a[f];p:=t*l;
if i<=n then shu(i,f+1,p,j);
until(i>n)or(j=x);
end;
begin
readln(s);
n:=0;for j:=1 to length(s)do n:=n*10+ord(s[j])-48; {输入}
max:=1;num:=1; {num为已得到的约数最多的数，max为num的约数

#include<stdio.h>
#define inf 9999999
int p[20] = {0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51};

long long  max,n;
long long num;
void get(long long m,int f,int t,int pr)//m代表当前值，f当前的素数，t约数的个数，pr指数限制
{

    if(t>max||(t==max&&m<num))
    {
        num=m;
        max=t;

    }
    int j=0,l=1,nt;
    long long i=m;
    while(j<pr)
    {
        j++;
        l++;
        if(n/i<p[f])break;
        nt=t*l;//约数的个数
        i=i*p[f];
        if(i<=n)get(i,f+1,nt,j);//为什么是 j，为了是 前一个素数的指数大于后一个素数的指数
    }


}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);;
    while(t--)
    {
        max=-1;
        num=-1;
        scanf("%lld",&n);
        get(1,1,1,30);
        printf("%lld\n",num);
    }

}