只不过个人怕忘记罢了...不是学习教程...
积性函数
定义
如果一个数论函数(f(n))满足
[f(pq)=f(p)f(q),gcd(p,q)=1
]
则称(f(n))是一个积性函数。
常见例子
[e(n)=[n=1]\
1(n)=1\
mu(n)=egin{cases}(-1)^k&n=p_1p_2p_3dots p_k\0&n=p^2qend{cases}\
d(n)=sum_{i mid n}1\
id(n)=n\
sigma(n)=sum_{d|n}d
]
狄利克雷卷积
定义
[f*g(n)=sum_{d mid n}f(d)g(frac nd)
]
性质
交换律与结合律。
具体地：
[f*g(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac nd)=sum_{d|n}g(d)f(frac nd)=g*f(n)\
f*g*h(n)=sum_{d|n}f(d)sum_{t mid frac nd}g(t)h(frac n{dt})=sum_{d_1d_2d_3=n}f(d_1)g(d_2)h(d_3)=f*(g*h)(n)
]
常见积性函数卷积
[forall f(n),e*f(n)=f(n)\
1*1(n)=sum_{d|n}1=d(n)\
id*1(n)=sum_{d|n}d=sigma(n)\
mu*1(n)=sum_{d|n}mu(d)=[n=1]=e(n)\
varphi*1(n)=sum_{d|n}varphi(d)=n=id(n)
]
大一统：
[muxrightarrow{*1}exrightarrow{*1}1xrightarrow{*1}d\
varphixrightarrow{*1}idxrightarrow{*1}sigma
]
[muxleftarrow{*mu}exleftarrow{*mu}1xleftarrow{*mu}d\
varphixleftarrow{*mu}idxleftarrow{*mu}sigma
]
莫比乌斯反演
很常用的公式：
[[n=1]=sum limits_{d mid n} mu(d)
]
当然，其本质就是(1 * mu(n)=e(n))。
咳咳，下面才是正题：
如果存在 (F(n)) 和 (f(n)) 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件：
[F(n)=sum_{d|n}f(d)
]
则：
[f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(lfloorfrac{n}{d}
floor)
]
其本质就是(F=f * 1 iff f=F * mu) 。
另外一种形式，当 (F(n)) 和 (f(n)) 满足：
[F(n)=sum_{n mid d}f(d)
]
则：
[f(n)=sum_{n mid d}mu(frac{d}{n})F(d)
]
莫比乌斯函数与欧拉函数的关系：
[varphi(n) = sum_{d|n} mu(d) frac{n}{d},frac {varphi(n)} n = sum_{d|n} frac{mu(d)}{d}
]