51nod 1202不同子序列个数

题意

求本质不同子序列的数量。

传送门

思路

思路一：(dp[i] = sum_{j=last[a[i]]}^{i-1} dp[j])

(dp[i]) 表示第 i 位数字作为子序列的最后一位的数量。

当(a[i]) 未出现过时： (dp[i]) 可从之前所有状态包括空串转移过来，即：(dp[i] = sum_{j=0}^{i-1}dp[j])。

当(a[i]) 出现过时：(dp[i]) 还是可从之前所有状态转移过来，但是对于([0,last[a[i]]-1]) 中的状态会重复计算，所以减去 (sum_{j=0}^{last[a[i]]-1} dp[j]) 。

用前缀和优化一下，复杂度即为(O(n))。

最终状态含空串。

思路二：(dp[i] = dp[i-1] imes2-dp[last[a[i]]-1])

(dp[i]) 表示枚举到第 (i) 位时所有本质不同子序列的数量，当添加 (a[i]) 到所有子序列中时，可选择加或者不加。

当 (a[i]) 未出现过时：(dp[i]) 相对于(dp[i-1]) 多了一倍外，还多一个长度为1的子序列 (a[i])，即：(dp[i] = dp[i-1] imes2+1)。

当 (a[i]) 出现过时：(dp[i]) 相对于(dp[i-1]) 多了一倍，其中对于([1, last[a[i]]-1]) 中的状态会重复计算需要减掉，即：(dp[i] = dp[i-1] imes2-dp[last[a[i]]-1])。

最终状态不含空串。

Code

#include <cstdio>

using namespace std;

const int maxn = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;

int last[maxn];
int dp[maxn], pre[maxn];
int n, a[maxn];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", a+i);

//    思路一：
//    pre[0] = 1;
//    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
//        if(last[a[i]] == 0) dp[i] = pre[i-1];
//        else dp[i] = (pre[i-1]-pre[last[a[i]]-1]+mod)%mod;
//        pre[i] = (pre[i-1] + dp[i]) % mod;
//        last[a[i]] = i;
//    }
//    printf("%d
", (pre[n]-1+mod)%mod);

//  思路二：
    dp[1] = 1, last[a[1]] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if(last[a[i]] == 0) dp[i] = (dp[i-1]*2%mod+1)%mod;
        else dp[i] = (dp[i-1]*2%mod-dp[last[a[i]]-1]+mod)%mod;
        last[a[i]] = i;
    }

    printf("%d
", dp[n]);
    return 0;
}