goj 递推题目系列之三放苹果（递推dp）

Problem Description:

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input:

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output:

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input:

2
8 6
7 3

Sample Output:

20
8
解题思路：
设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目，则先对n作讨论：
①当m<n：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)；　　
②当m>=n：不同的放法可以分成两类：含0的方案数，不含0的方案数：
1、含0的方案数，至少有一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1)；
2、不含0的方案数，所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n)；
而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)。
递归出口条件说明：
当n==1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；
当没有苹果可放（m==0）时，定义为１种放法；
递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1; 
第二条m会逐渐减少，因为n>m时，会return f(m,m)，所以终会到达出口m==0．
为什么出口m==0呢？因为我们总是让m>=n来求解的，所以m-n>=0，让m=0时候结束。如果改为m=1，则可能出现m-n=0的情况（与条件不符）从而不能得到正确解。 
AC代码一（递归写法）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fun(int m,int n){
    if(m==0 || n==1)return 1;
    if(m<n)return fun(m,m);
    else return fun(m,n-1)+fun(m-n,n);
}
int main(){
    int t,m,n;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>m>>n;
        cout<<fun(m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}

 AC代码二（dp写法）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t,m,n,dp[15][15];
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>m>>n;//初始化，盘子有0个时，无论有多少个苹果，情况数都为0
        for(int i=0;i<=m;++i){dp[i][0]=0;dp[i][1]=1;}//盘子有1个时，苹果0个时定义为1种情况，其余也都是1种情况
        for(int i=0;i<=n;++i)dp[0][i]=1;//苹果0个时，定义为1种情况
        for(int i=1;i<=m;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];
                else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
            }
        }
        cout<<dp[m][n]<<endl;
    }
    return 0;
}