题解报告：NYOJ #737 石子合并（一）（区间dp）

描述    

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开输出输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9
239
解题思路：经典区间dp！石子合并问题！定义dp[i][j]表示将区间[i,j]合并后得到的最小代价，易想到相邻先两两合并，再三三合并....，直到将整个区间合并完成，dp[1][n]就是要求的最小代价。
状态转移方程为dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])，其中sum[j]-sum[i-1](预处理前缀和)为将区间[i,j]合并得到的代价，k为断点的枚举。时间复杂度为O(n^3)。
AC代码一(340ms)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=205;
int n,a[maxn],sum[maxn],dp[maxn][maxn];
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i],dp[i][i]=0;//初始状态dp[i][i]表示当前每一堆的代价为0
        for(int len=1;len<=n;++len){//区间长度
            for(int i=1;i<=n-len;++i){//区间起点
                int j=i+len;//区间终点
                for(int k=i;k<j;++k)//断点k把(i,j)分成2堆，dp[i][j]为原来两堆各自的代价和再加上合并的两堆得到的代价之和
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
        printf("%d
",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}

AC代码二(0ms)：GarsiaWachs算法，时间复杂度为0(n^2)。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=205;
const int inf=0x7fffffff;//2147483647
int n,m,t,ans,stone[maxn];
void dfs(int k){
    int tmp=stone[k-1]+stone[k];
    ans+=tmp;t--;
    for(int i=k;i<t;++i)stone[i]=stone[i+1];//元素左移，表示删掉了一个元素
    int j=0;k--;
    for(j=k;stone[j-1]<tmp;--j)stone[j]=stone[j-1];//元素右移，找到第一个满足条件的j
    stone[j]=tmp;//将tmp插到j后面
    while(j>=3&&stone[j-2]<=stone[j]){//继续向前查找是否还有满足条件的情况
        int d=t-j;//保存当前t离操作点的距离d
        dfs(j-1);//合并第j-1堆和第j-2堆石子
        j=t-d;//设置新的操作点j
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&stone[i]);
        t=2,ans=0;stone[0]=stone[n+1]=inf;//左右边界设置成无穷
        for(int i=2;i<=n;++i){
            stone[t++]=stone[i];
            while(t>3&&stone[t-3]<=stone[t-1])dfs(t-2);//表示当前至少有3堆石子，并且满足stone[k-1]<=stone[k+1]，其中k=t-2，就合并第t-3和第t-2堆石子
        }
        while(t>2)dfs(t-1);//如果剩下的堆数至少为3-1=2堆，则继续合并，直至剩下一堆石子
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}