设最大权值为(M)
(T=sqrt M)
定理
任意一个(le M)的数一定可以表示为abc三个数的乘积
满足这三个数要么(le T),要么是一个质数
证明:
考虑反证
假设(a>b>c),满足(a>T)且(a)不为素数
因为(a>T)且(abcle M),则有(bcle T)
我们设(a=x*y),一定不可能x,y均(ge T)
假设(x>y),则(y le T)
则原数可表示为(x,y,bc)三数乘积
若此时x仍不满足两条件之一,继续分解,最后定能满足
预处理O(n)
-
线性筛,求出每个数的最小质因子
-
预处理每个数能分解成哪三个数
对于x,其最小质因数为p
则x的分解先复制(x/p)的分解
设为a,b,c
若(a*ple T)则(a*=p)
若(b*ple T)则(b*=p)
否则(c*=p)
正确性证明:
不难发现若(pge T)则x为素数且x=p
而对于x为素数的,(x/p=1)显然正确,不用考虑
那么此时(ple T)
若a,b,c其一为1,显然正确,不用考虑
此时有(a*p,b*p,c*p)均为合数
所以:现在要证明的是(a,b,c)中至少有一个数乘(p)后(le T)
就是证明(a,b,c)中不会出现每一个数乘(p)都(ge T)
反证:
根据条件有(a,b,c>frac T p)
设(x/p)的最小质因数为w,则(wge p)
依此类推(a,b,cge p)
①(p< sqrt T),此时(a,b,c>sqrt T)
(pabc>frac {T^3} {p^2}>{T^2}=M)
说明原数在权值范围M之外,矛盾
②(pge sqrt T),
此时(pabc>p^4>T^2=M) -
预处理T以内两两数的gcd
可以递推,像辗转相除,g[x][y]=g[y][x%y]
Code
void init_gcd(){
notprime[1]=1;
int i,j,d;
for(i=2;i<N;i++){
if(!notprime[i]){
prime[++cnt]=i;
p[i]=i;
}
for(j=1;j<=cnt;j++){
if((LL)prime[j]*i>=N) break;
d=prime[j]*i;
notprime[d]=1;
p[d]=prime[j];
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
split[1][0]=split[1][1]=split[1][2]=1;
for(i=2;i<N;i++){
memcpy(split[i],split[i/p[i]],sizeof(split[i/p[i]]));
if(split[i][0]*p[i]<=sn) split[i][0]*=p[i];
else if(split[i][1]*p[i]<=sn) split[i][1]*=p[i];
else split[i][2]*=p[i];
}
// gcd(0,0)=0 , gcd(0,x)=x
for(i=0;i<=sn;i++)
for(j=0;j<=i;j++){
if(!i||!j) g[i][j]=i|j;
else g[i][j]=g[j][i]=g[j][i%j];//j<=i
}
}
求两数gcd O(1)
int gcd(int x,int y){
int ans=1,i,d;
for(i=0;i<3;i++){
if(split[x][i]<=sn) d=g[split[x][i]][y%split[x][i]];
else d=(y%split[x][i]==0)?split[x][i]:1;
ans*=d;
y/=d;//避免算重
}
return ans;
}