先观察两类斯特林三角形
第一类：轮换斯特林三角形
(egin{matrix}underline n|&left[egin{matrix} n\0end{matrix}
ight] &left[egin{matrix} n\1end{matrix}
ight] &left[egin{matrix} n\2end{matrix}
ight] &left[egin{matrix} n\3end{matrix}
ight] &left[egin{matrix} n\4end{matrix}
ight] \0|&1&0&0&0&0\1|&0&1&0&0&0\2|&0&1&1&0&0\3|&0&2&3&1&0\4|&0&6&11&6&1end{matrix})
(\)
第二类：子集斯特林三角形
(egin{matrix}underline n|&left{egin{matrix} n\0end{matrix}
ight} &left{egin{matrix} n\1end{matrix}
ight} &left{egin{matrix} n\2end{matrix}
ight} &left{egin{matrix} n\3end{matrix}
ight} &left{egin{matrix} n\4end{matrix}
ight} \0|&1&0&0&0&0\1|&0 &1&0&0&0\2|&0&1&1&0&0\3|&0&1&3&1&0\4|&0&1&7&6&1end{matrix})
定义第一类斯特林数
第一类斯特林数：(left[egin{matrix} n\kend{matrix}
ight])
表示将n个元素排成k个非空轮换(()环cycle())的方案数，读作(n)轮换(k)
类似于项链：([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C])
同时，这可以理解为集合套轮换
也就是说后面两种分法是同一个方案({ [A,B],[C,D] }={[C,D],[A,B]})
类似项链，加入一个新元素的时候，可以考虑自己形成一个新的环，或者插入任意一个已有的环中的其中一个点后，所以有$$left[egin{matrix} nkend{matrix}
ight]=left[egin{matrix} n-1k-1end{matrix}
ight]+(n-1)left[egin{matrix} n-1kend{matrix}
ight]$$
定义第二类斯特林数
第二类斯特林数：(left{egin{matrix} n\kend{matrix}
ight})
表示将n个元素化成k个非空集合的方案数，读作n子集k
这可以理解为集合套集合
也就是说后面两种分法是同一个方案({ {A,B},{C,D} }={{C,D},{A,B}})
加入一个新元素的时候，可以考虑自己形成一个新的集合，或者插入任意一个已有的集合中，所以有$$left{egin{matrix} nkend{matrix}
ight}=left{egin{matrix} n-1k-1end{matrix}
ight}+kleft{egin{matrix} n-1kend{matrix}
ight}$$
(\)
不难发现，上面两个递推式只有后一项的系数不同，而且第一类为斯特林数上面的(n-1),第二类为斯特林数下面的(k)
性质
1.(left{egin{matrix} n\kend{matrix} ight} = left[egin{matrix} n\kend{matrix} ight] = left(egin{matrix} n\kend{matrix} ight)=0 ，k>n)
2.(left{egin{matrix} n\nend{matrix} ight} = left[egin{matrix} n\nend{matrix} ight] = left(egin{matrix} n\nend{matrix} ight)=1)
3.(left{egin{matrix} n\0end{matrix} ight} = left[egin{matrix} n\0end{matrix} ight] = [n=0])
4.(left{egin{matrix} n\1end{matrix} ight} = [n>0])
5.(left[egin{matrix} n\1end{matrix}
ight] = (n-1)!)
就是相当于n个点的轮换方案数=(n-1)个点的排列数(frac {n!} n=(n-1)!)
更多公式详见 《具体数学》