自然数幂求和方法1：扰动法（求两次）
先来搞一搞等比数列
标号从1开始，(a_n=a1*q^{n-1})
(S_n=sum_{k=1}^n a_k)
[egin{aligned}S_n+a_{n+1}&=a_1+sum_{k=2}^{n+1} a_k \
S_n+a_n*q&=a_1+q*S_n \
S_n&=frac {a_1-a_n*q} {1-q}
end{aligned}]
大概就是这样用两种不同的方法算同一个东西，来求出公式
(S_t(n) =sumlimits_{k=0}^n k^t)
[egin{aligned}
S_t(n)+(n+1)^t &=0+ sum_{k=1}^{n+1} k^t \
S_t(n)+(n+1)^t &=sum_{k=0}^{n} (k+1)^t \
最后那项二项式展开一下 \
S_t(n)+(n+1)^t&=sum_{k=0}^{n} sum_{i=0}^t inom t i k^i \
S_t(n)+(n+1)^t&=sum_{i=0}^t inom t i sum_{k=0}^{n} k^i \
S_t(n)+(n+1)^t&=sum_{i=0}^t inom t i S_i(n) \
我们想要的项S_t(n)不见了，没关系，把t+1代替原来的t \
S_{t+1}(n)+(n+1)^{t+1}&=sum_{i=0}^{t+1} inom {t+1} i S_i(n) \
S_{t+1}(n)+(n+1)^{t+1}&=sum_{i=0}^{t-1} inom {t+1} i S_i(n) + (t+1)*S_t(n)+ S_{t+1}(n)\
S_t(n)&=frac 1 {t+1} left((n+1)^{t+1}-sum_{i=0}^{t-1} inom {t+1} i S_i(n)
ight)
end{aligned}]
小结
用这个式子求值可以做到(O(t^2))
但求多项式系数不优(O(t^3))
知道自然数幂求和是个t次多项式的话
高斯消元也可以做到(O(t^3))
(S_t(n)=sumlimits_{k=0}^{t+1}a_k*n^k)
我们求出每个(n=1...t)求出(S_t(n))并对应把(n^k)代入到多项式中
得到(t)条多项式来解就可以解出系数(a)了