微积分 学习笔记

1阶导：(frac {dy}{dx})

2阶导：(frac {d(frac {dy}{dx})}{dx}=frac {d^{~2}y}{dx^{~2}})

n阶导：(frac {d^{~n}y}{dx^{~n}})

导数常用公式一览

基本导数：
(C'=~0)

((x^n)'= ~n~x^{n-1})

((sin x)'= ~cos x)

((cos x)'=~ -sin x)

((e^x)'= ~e^x)
((e^{cx})'=~c~e^{cx})

链式法则：
((a^x)'= [e^{~x ln a}]'~=a^x~ln a)

除法法则：(也可以用链式法则(-1)次方去理解)
((csc x)'=(frac 1 {sin x})'=~-frac {cos x}{sin^2x}=~-csc x cot x)

((sec x)'=(frac 1 {cos x})'=~frac {sin x}{cos^2x}=~sec x an x)

(( an x)'=~frac 1{cos^2 x}=~sec^2 x)

((cot x)'=~-frac 1{sin^2 x}=~-csc^2 x)

逆函数法则：
((ln x)'=~frac 1 x)

((log_a x)'=~frac 1 {xln a})

((arcsin x)'=(sin^{-1} x)'=~frac 1{sqrt{1-x^2}})

((arccos x)'=(cos^{-1} x)'=~-frac 1{sqrt{1-x^2}})

((arctan x)'=( an^{-1} x)'=~ frac 1 {1+x^2})

((arccot~x)'=(cot^{-1} x)'= ~ -frac 1 {1+x^2})

法则

以下(a,b)为常数

加减法则：((a fpm bg)'=a~f'+b~g')

乘法法则：((fg)'=f~g'+g'~f)(矩形面积法证明)

除法法则：((frac f g)'=frac {g~f'-f~g'}{g^2})

链式法则：([~f(g(x))~]'=frac {df}{dx}=frac {df}{dg}frac {dg}{dx}=f'(g(x))~~g'(x))
（外函数求导*内含数求导）

逆函数法则：([~f^{-1}(y)~]'=frac {dx}{dy}=frac {~~~1~~~}{frac {dy}{dx}}=frac 1{f'(x)})
(逆函数又叫反函数，就是x,y交换，如(e^x)与(ln x))

幂法则(由链式法则得)：([f(x)^n]'=n~ f^{n-1}f')

洛必达法则：(limlimits_{x ightarrow a}frac {f(x)} {g(x)}=limlimits_{x ightarrow a}frac{f'(x)}{g'(x)})

高阶导：
((apm b)^{(n)}=a^{(n)}pm b^{(n)})
((Ca)^{(n)}=C~a^{(n)})
((ab)^{(n)}=sumlimits_{k=0}^ninom n ka^{(n-k)}b^{(k)}~~~~(长得像二项式定理，用数学归纳法证明))

导数应用

1.(y')代表了斜率的变换，与单调性相关
(y'=0)时函数取得极值(不同于最大值最小值，极值是局部的)

2.(y'')代表了函数的弯曲性(凹凸性)，与函数增长速度有关
(y''<0且y'=0)为MAX
(y''>0且y'=0)为MIN
(y''=0)为拐点(弯曲性改变)

小证明

(limlimits_{Delta x ightarrow 0}frac {cosDelta x-1}{cosDelta x}=0)

证明：
(frac {cosDelta x-1}{cosDelta x}=frac {cosDelta x-cos 0}{cosDelta x})

就是(cos)在(0)处的导数
而(cos)在(0)处取得极值，导数为0

(limlimits_{Delta x ightarrow 0}frac {sin Delta x}{Delta x}=1)

证明：
(ecause 0<Delta x<frac {pi} 2)
( herefore sinDelta x<Delta x, anDelta x>Delta x)
( herefore frac {sinDelta x}{Delta x}<1,frac {sin Delta x}{cos Delta x}>Delta x)
( herefore frac {sinDelta x}{Delta x}<1,frac {sin Delta x}{Delta x}>cos Delta x)

被(cos)和(y=1)两条线夹着
( herefore limlimits_{Delta x ightarrow 0} frac {sinDelta x}{Delta x}=1)

((sin(x))'=cos(x),(cos(x))'=-sin(x))

证明：

[egin{aligned} sin'(x)&=frac {sin(x+Delta x)-sin(x)}{Delta x }\ &=frac{sin(x)cos(Delta x-1)+cos(x)sin(Delta x)}{Delta x}\ &=sin(x)frac {cos(Delta x-1)}{Delta x}+cos(x)frac{sinDelta x}{Delta x}\ &=cos(x)\ 同理可证： cos'(x)&=-sin(x) end{aligned} ]

((x^{frac a b})'=frac a b x^{(frac a b -1)})

证明：

[egin{aligned} (x^{frac a b})^{frac b a}&=1\ frac b a~(x^{frac a b})^{(frac b a-1)}frac {dy} {dx}&=1\ frac{dy}{dx}&=frac a bx^{-(1-frac a b)}\ frac{dy}{dx}&=frac a b x^{(frac a b -1)} end{aligned} ]

(e^{ax})其中(a)为常数
((e^{ax})'=a~e^{at})

证明：
令(y=g(x)=ax),(~f(y)=e^y)
((f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)=e^y*a=a~e^{at})

(f'=cf+d)，其中(c,~d)为常数
则(f'=c(f+frac dc))

(ecause(apm b)'=a'pm b')
( herefore (f+frac dc)'=c(f+frac dc))

和(f'=c~f)长得很像,由(f'=c~f)可得(f=Ae^{cx})

所以由((f+frac dc)'=c(f+frac dc))可得
(f=Ae^{cx}-frac dc)

((xln x-x)'=ln x)

8.拉格朗日中值
连续光滑曲线中
区间([a,b])中有一点瞬时斜率等于区间的平均斜率

注意点

用导数求出的函数极值可能在限制范围外，要特判

微积分

对于函数(f(x))，若求出原函数(g(x))
使得(Delta g(x)=g(x+Delta x)-g(x)=f(x))
那么我们队(f(x))的求和，就可以转化成(Delta g(x))的求和
而(Delta g(x))的求和相邻两项会消掉一些东西
最后变成了(Delta g(x)_{end}-Delta g(x)_{begin})

而不难发现(Delta g(x)iff slope~g(x))
所以原函数就是：导数为(f(x))的函数