线性近似与牛顿迭代

1.线性近似

线性近似：(~~~~~f(x)approx f(a)+(x-a)f'(a))

(~)

用法：已知(x)，用于得到(f(x)的近似值)

(f'(a)=limlimits_{x ightarrow a}frac {f(x)-f(a)}{x-a})
(f'(a)approxfrac {f(x)-f(a)}{x-a})

( herefore f(x)approx f(a)+(x-a)f'(a))

(~)

例子：解(sqrt{9.06})
则有(f(x)=sqrt x =x^{frac 1 2}~~,~~f'(x)=frac 1{2sqrt x})
令(a=9)
则有(f(a)=3~~,~~f'(a)=frac 16)
(ecause x=9.06)
( herefore f(x)approx3+frac 1 6*0.06=3.01)

(~)

意义：
式子中(f(a))可看作常数，一个大致的值
(f'(a))可看作斜率
在(f(a))的基础上沿斜率(f'(a))走(x-a)的距离作为修正值

2.牛顿法

牛顿法：(~~~~xapprox~a-frac {f(a)}{f'(a)})

(~)

用法：求函数(f(x)=0)时的(~x)
继续用上面的式子
(f(x)approx f(a)+(x-a)f'(a))
(ecause f(x)=0)
( herefore xapprox ~a-frac {f(a)}{f'(a)})

(~)

例子：解(x^2-9.06=0)
(f(x)=x^2-9.06~~,~~f'(x)=2x)
令(a=3)
则有(f(a)=-0.06~~,~~f'(a)=6)
(xapprox3-frac {-0.06}{6}=3.01)

(~)

意义：
大致同线性近似
a是求出的(x)大致值
(frac {f(a)}{f'(a)})就是值除以斜率，算出来的是(x)坐标的修正值

(~)

推广:求出一个x后，重新令(a=x)，再算一次算出(x_2)，迭代下去
就是牛顿迭代了，算出来的值会hen