洛谷 P4822 [BJWC2012]冻结 题解

P4822 [BJWC2012]冻结

题目描述

“我要成为魔法少女！”
“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”
“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？
比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关键字来查询，会有很多有趣的结果。
例如，我们熟知的Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。 当然，更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、„„
当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

我们考虑最简单的旅行问题吧： 现在这个大陆上有 N 个城市，M 条双向的道路。城市编号为 1~N，我们在 1 号城市，需要到 N 号城市，怎样才能最快地到达呢？
这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。
现在，我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间 就可以减少到原先的一半。需要注意的是：

1. 在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
2. 使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
3. 你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的 SpellCard 之情形下，从城市1 到城市N最少需要多长时间。

输入格式

第一行包含三个整数：N、M、K。
接下来 M 行，每行包含三个整数：Ai、Bi、Timei，表示存在一条 Ai与 Bi之间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 Timei的时间。

输出格式

输出一个整数，表示从1 号城市到 N号城市的最小用时。

输入输出样例

输入 #1

4 4 1
1 2 4
4 2 6
1 3 8
3 4 8

输出 #1

7

说明/提示

样例解释：
在不使用 SpellCard 时，最短路为 1à2à4，总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2à4 这条道路的时间减半，此时总时间为7。
对于100%的数据：1 ≤ K ≤ N ≤ 50，M ≤ 1000。
1≤ Ai，Bi ≤ N，2 ≤ Timei ≤ 2000。
为保证答案为整数，保证所有的 Timei均为偶数。
所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

【思路】

分层图 + dijkstra
分层图板子题
如果想了解分层图请看这里
了解分层图

【题目大意】

从1到n跑
其中可以让k条路的耗时变为原来的一半
求最小耗时

【题目分析】

如果你不是第一次做最短路的话
那看到这k条减半的路
会情不自禁的联想到k条免费的路
从而想到分层图这个简单的东西
本质上K条免费的路和k调皮减半的路处理方式是一个样的
所以可以用分层图做

【核心思路】

将题目给出的图赋值k遍
然后将两个图之间的路径都标为原来距离的一半
因为那条路被使用了魔法
然后就可以裸着跑dijkstra了
比较用0次魔法到用k次魔法到达的终点里面
哪一个消耗的时间最少就是答案了

【注意】

做分层图题目的时候
必须要对空间范围严格把关
要不然很容易出问题
温馨提示：如果不知道开多少，那就能开多大就开多大

【完整代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring> 
using namespace std;
struct point
{
	int w,x;
	bool operator < (const point & xx)const 
	{
		return xx.w < w;
	}
};
const int Max = 100005;
struct node
{
	int y,ne,z;
}a[20 * Max];
int sum = 0;int head[Max];

void add(int x,int y,int z)
{
	a[++ sum].y = y;
	a[sum].ne = head[x];
	a[sum].z = z;
	head[x] = sum;
}
int d[Max];
bool use[Max];
priority_queue<point>q;
void dj()
{
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[1] = 0;
	q.push((point){0,1});
	while(!q.empty())
	{
		point qwq = q.top();
		q.pop();
		int x = qwq.x,w = qwq.w;
		if(use[x] == true)
			continue;
		else
			use[x] = true;
		for(register int i = head[x];i != 0;i = a[i].ne)
		{
			int awa = a[i].y;
			if(d[awa] > d[x] + a[i].z)
			{
				d[awa] = d[x] + a[i].z;
				if(use[awa] == false)
					q.push((point){d[awa],awa});
			}
		}
	}
}

int main()
{
	int n,m,k;
	cin >> n >> m >> k;
	int x,y,z;
	for(register int i = 1;i <= m;++ i)
	{
		cin >> x >> y >> z;
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
		for(register int j = 1;j <= k;++ j)
		{
			add(j * n + x,j * n + y,z);
			add(j * n + y,j * n + x,z);
			add((j - 1) * n + x,j * n + y,z / 2);
			add((j - 1) * n + y,j * n + x,z / 2);
		}
	}
	dj();
	int M = 0x7fffffff;
	for(register int i = 0;i <= k;++ i)
		M = min(M,d[i * n + n]);
	cout << M << endl;
	return 0;
}

我要成为魔法少女QWQ