欧拉回路

欧拉路径：若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉(Euler)回路。

图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。在当时的哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔

 

河，河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来。当时那里的居民热衷于一个难题：有游人怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。　为了解决这个问题，欧拉用A,B,C,D4个字代替陆地，作为4个顶点，将联结两块陆地的桥用相应的线段表示，于是哥尼斯堡七桥问题就变成了图中，是否存在经过每条边一次且仅一次，经过所有的顶点的回路问题了。欧拉在论文中指出，这样的回路是不存在的。

//欧拉回路
void euler(int u)
{
    for(int v = 0; v<n; v++) if(G[u][v]&&vis[u][v])
    {
        vis[u][v] = vis[v][u] = 1;
        euler(v);
        printf("%d %d
", u, v);
    }
} 

//注：G[u][v]为 1 时， 为u和v是连通的， 为 0 不连通 。
//程序只适用于欧拉道路和欧拉回路， 但是如果要打印的是欧拉道路
//在主程序中调用时，参数必须是道路的起点， 另外打印的顺序是逆序的
//因此在真正使用这份代码时应当把printf改成push语句，把（u，v）压入栈 

《1》单词

http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=105&page=show_problem&problem=1070

分析一下：

本题主要是把字母看作结点，单词看成有向边，则有解当且仅当图中有欧拉路径。注意要先判连通。 连通如何判断呢？ 好无疑问， 并查集。 不用理我， 下面我在吐槽！ 哎！感觉自己也不是十分的是个十足的fool 。 然而现在还是停留在能勉强看懂代码的水平上（要费好大的劲才能看懂！）。 不说啦，都是眼泪!。

// 算法：把字母看作结点，单词看成有向边，则有解当且仅当图中有欧拉路径。注意要先判连通
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 1000 + 5;

// 并查集（代码摘自《算法竞赛入门经典——训练指南》第三章）
int pa[256];
int findset(int x) { return pa[x] != x ? pa[x] = findset(pa[x]) : x; } 

int used[256], deg[256]; // 是否出现过；度数

int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while(T--) {
    int n;
    char word[maxn];

    scanf("%d", &n);
    memset(used, 0, sizeof(used));
    memset(deg, 0, sizeof(deg));
    for(int ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) pa[ch] = ch; // 初始化并查集

    int cc = 26; // 连通块个数 （最多有26个连通块） 

    for(int i = 0; i < n; i++) {
      scanf("%s", word);
      char c1 = word[0], c2 = word[strlen(word)-1];
      deg[c1]++;                                   //很机智的方法 
      deg[c2]--;
      used[c1] = used[c2] = 1;                    //表示该字母被用过 
      int s1 = findset(c1), s2 = findset(c2);
      if(s1 != s2) { pa[s1] = s2; cc--; }          
    }

    vector<int> d;
    for(int ch = 'a'; ch <= 'z'; ch++) {
      if(!used[ch]) cc--;                 //没出现过的字母 
      else if(deg[ch] != 0) d.push_back(deg[ch]);
    }
    bool ok = false;
    if(cc == 1 && (d.empty() || (d.size() == 2 && (d[0] == 1 || d[0] == -1)))) ok = true;
    if(ok) printf("Ordering is possible.
");
    else printf("The door cannot be opened.
");
  }
  return 0;
}

代码实现思路：

代码的难度主要在求连通块的部分。 现在我谈一下我对这一部分的理解。

首先是连通块最多有 26 个（至于为什么， 很简单， 因为一共有26个小写字母）。合并能合并的连通块， 减去没出现的字母， 就是结果连通块啦。如果唯一（链）或为0（环）就成功啦！ 里面牵扯到好多技巧， 请细看代码！