Algorithm Gossip (31) 数字拆解(dp问题)

前言

This Series aritcles are all based on the book 《经典算法大全》; 对于该书的所有案例进行一个探究和拓展，并且用python和C++进行实现; 目的是熟悉常用算法过程中的技巧和逻辑拓展。

提出问题

31.Algorithm Gossip: 数字拆解

说明

这个题目来自于 数字拆解，我将之改为C语言的版本，并加上说明。
题目是这样的：
3 = 1+ 2+1 =1+1+1 所以3 3 有三种拆法
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1共七种
依此类推，请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个？

解法

我们以上例中最后一个数字5的拆解为例，假设f( n )为数字n的可拆解方式个数，而f(x, y)为使用y以下的数字来拆解x的方法个数，则观察：
使用函式来表示的话：
) f(5) = = , f(4, ) 1) + + ) f(3,2) + + ) f(2,3) + + ) f(1,4) + + f(0,5)
其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1)，但是使用大于1的数字来拆解1没有意义，所以f(1, 4) =f(1, 1)，而同样的，f(0, 5)会等于f(0, 0)，所以：
) f(5) = = , f(4, ) 1) + + ) f(3,2) + + ) f(2,3) + + ) f(1,1) + + f(0,0)
依照以上的说明，使用动态程式规画（Dynamic programming）来进行求解，其中f(4,1)其实就是f(5-1, min(5-1,1)) ， f(x, y)就等于f(n-y, min(n-x, y))，其中n为要拆解的数字，而min()表示取两者中较小的数。
使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y)，刚开始时，将每列的索引0与索引1元素值设定为1，因为任何数以0以下的数拆解必只有1种，而任何数以1以下的数拆解也必只有1种：
i for(i = = ; 0; i i < < M NUM ; +1; i++){
] table[i][0] = = ; 1; / // 任何数以0 0 以下的数拆解必只有1 1 种
] table[i][1] = = ; 1; / // 任何数以1 1 以下的数拆解必只有1 1 种
} }
接下来就开始一个一个进行拆解了，如果数字为NUM，则我们的阵列维度大小必须为NUM * (NUM/2+1)，以数字10为例，其维度为10 x 6我们的表格将会如下所示：
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 2 2 3 3 0 0 0 0
1 1 1 1 3 3 4 4 5 5 0 0
1 1 1 1 3 3 5 5 6 6 7 7
1 1 1 1 4 4 7 7 9 9 0 0
1 1 1 1 4 4 8 8 0 0 0 0
1 1 1 1 5 5 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

分析和解释

代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define NUM 10 // 要拆解的数字
#define DEBUG 0
int main(void) {
	int table[NUM][NUM/2+1] = {0}; // 动态规画表格
	int count = 0;
	int result = 0;
	int i, j, k;
	printf("数字拆解
");
	printf("3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法
");
	printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1");
	printf("共五种
");
	printf("5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1");
	printf(" = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1");
	printf("共七种
");
	printf("依此类推，求 %d 有几种拆法？", NUM);
	// 初始化
	for(i = 0; i < NUM; i++){
		table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
		table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
		}
	// 动态规划
	for(i = 2; i <= NUM; i++){
		for(j = 2; j <= i; j++){
			if(i + j > NUM) // 大于 NUM
				continue;
			count = 0;
			for(k = 1 ; k <= j; k++){
				count += table[i-k][(i-k >= k) ? k : i-k];
				}
			table[i][j] = count;
			}
		}
	// 计算并显示结果
	for(k = 1 ; k <= NUM; k++)
		result += table[NUM-k][(NUM-k >= k) ? k : NUM-k];
	printf("

result: %d
", result);
	if(DEBUG) {
		printf("
除错资讯
");
		for(i = 0; i < NUM; i++) {
			for(j = 0; j < NUM/2+1; j++)
				printf("%2d", table[i][j]);
			printf("
");
			}
		}
	return 0;
	}

拓展和关联

后记

参考书籍

• 《经典算法大全》
• 维基百科