Softmax vs. Softmax-Loss VS cross-entropy损失函数 Numerical Stability(转载)

http://freemind.pluskid.org/machine-learning/softmax-vs-softmax-loss-numerical-stability/

卷积神经网络系列之softmax，softmax loss和cross entropy的讲解

我们知道卷积神经网络（CNN）在图像领域的应用已经非常广泛了，一般一个CNN网络主要包含卷积层，池化层（pooling），全连接层，损失层等。虽然现在已经开源了很多深度学习框架（比如MxNet，Caffe等），训练一个模型变得非常简单，但是你对这些层具体是怎么实现的了解吗？你对softmax，softmax loss，cross entropy了解吗？相信很多人不一定清楚。虽然网上的资料很多，但是质量参差不齐，常常看得眼花缭乱。为了让大家少走弯路，特地整理了下这些知识点的来龙去脉，希望不仅帮助自己巩固知识，也能帮到他人理解这些内容。

这一篇主要介绍全连接层和损失层的内容，算是网络里面比较基础的一块内容。先理清下从全连接层到损失层之间的计算。来看下面这张图，来自参考资料1（自己实在懒得画图了）。

这张图的等号左边部分就是全连接层做的事，W是全连接层的参数，我们也称为权值，X是全连接层的输入，也就是特征。从图上可以看出特征X是N*1的向量，这是怎么得到的呢？这个特征就是由全连接层前面多个卷积层和池化层处理后得到的，假设全连接层前面连接的是一个卷积层，这个卷积层的输出是100个特征（也就是我们常说的feature map的channel为100），每个特征的大小是4*4，那么在将这些特征输入给全连接层之前会将这些特征flat成N*1的向量（这个时候N就是100*4*4=1600）。解释完X，再来看W，W是全连接层的参数，是个T*N的矩阵，这个N和X的N对应，T表示类别数，比如你是7分类，那么T就是7。我们所说的训练一个网络，对于全连接层而言就是寻找最合适的W矩阵。因此全连接层就是执行WX得到一个T*1的向量（也就是图中的logits[T*1]），这个向量里面的每个数都没有大小限制的，也就是从负无穷大到正无穷大。然后如果你是多分类问题，一般会在全连接层后面接一个softmax层，这个softmax的输入是T*1的向量，输出也是T*1的向量（也就是图中的prob[T*1]，这个向量的每个值表示这个样本属于每个类的概率），只不过输出的向量的每个值的大小范围为0到1。

现在你知道softmax的输出向量是什么意思了，就是概率，该样本属于各个类的概率！

那么softmax执行了什么操作可以得到0到1的概率呢？先来看看softmax的公式（以前自己看这些内容时候对公式也很反感，不过静下心来看就好了）：

公式非常简单，前面说过softmax的输入是WX，假设模型的输入样本是I，讨论一个3分类问题（类别用1，2，3表示），样本I的真实类别是2，那么这个样本I经过网络所有层到达softmax层之前就得到了WX，也就是说WX是一个3*1的向量，那么上面公式中的aj就表示这个3*1的向量中的第j个值（最后会得到S1，S2，S3）；而分母中的ak则表示3*1的向量中的3个值，所以会有个求和符号（这里求和是k从1到T，T和上面图中的T是对应相等的，也就是类别数的意思，j的范围也是1到T）。因为e^x恒大于0，所以分子永远是正数，分母又是多个正数的和，所以分母也肯定是正数，因此Sj是正数，而且范围是(0,1)。如果现在不是在训练模型，而是在测试模型，那么当一个样本经过softmax层并输出一个T*1的向量时，就会取这个向量中值最大的那个数的index作为这个样本的预测标签。

因此我们训练全连接层的W的目标就是使得其输出的WX在经过softmax层计算后其对应于真实标签的预测概率要最高。

举个例子：假设你的WX=[1,2,3]，那么经过softmax层后就会得到[0.09,0.24,0.67]，这三个数字表示这个样本属于第1,2,3类的概率分别是0.09,0.24,0.67。

弄懂了softmax，就要来说说softmax loss了。 
那softmax loss是什么意思呢?如下：

首先L是损失。Sj是softmax的输出向量S的第j个值，前面已经介绍过了，表示的是这个样本属于第j个类别的概率。yj前面有个求和符号，j的范围也是1到类别数T，因此y是一个1*T的向量，里面的T个值，而且只有1个值是1，其他T-1个值都是0。那么哪个位置的值是1呢？答案是真实标签对应的位置的那个值是1，其他都是0。所以这个公式其实有一个更简单的形式：

当然此时要限定j是指向当前样本的真实标签。

来举个例子吧。假设一个5分类问题，然后一个样本I的标签y=[0,0,0,1,0]，也就是说样本I的真实标签是4，假设模型预测的结果概率（softmax的输出）p=[0.1,0.15,0.05,0.6,0.1]，可以看出这个预测是对的，那么对应的损失L=-log(0.6)，也就是当这个样本经过这样的网络参数产生这样的预测p时，它的损失是-log(0.6)。那么假设p=[0.15,0.2,0.4,0.1,0.15]，这个预测结果就很离谱了，因为真实标签是4，而你觉得这个样本是4的概率只有0.1（远不如其他概率高，如果是在测试阶段，那么模型就会预测该样本属于类别3），对应损失L=-log(0.1)。那么假设p=[0.05,0.15,0.4,0.3,0.1]，这个预测结果虽然也错了，但是没有前面那个那么离谱，对应的损失L=-log(0.3)。我们知道log函数在输入小于1的时候是个负数，而且log函数是递增函数，所以-log(0.6) < -log(0.3) < -log(0.1)。简单讲就是你预测错比预测对的损失要大，预测错得离谱比预测错得轻微的损失要大。

———————————–华丽的分割线———————————–

理清了softmax loss，就可以来看看cross entropy了。 
corss entropy是交叉熵的意思，它的公式如下：

是不是觉得和softmax loss的公式很像。当cross entropy的输入P是softmax的输出时，cross entropy等于softmax loss。Pj是输入的概率向量P的第j个值，所以如果你的概率是通过softmax公式得到的，那么cross entropy就是softmax loss。这是我自己的理解，如果有误请纠正。

深度学习基础理论探索(二)： cross-entropy损失函数的前世今生

https://blog.csdn.net/qq_25552539/article/details/78255217

2017年10月16日 22:21:11

阅读数：2865

前面我们讲到，克服梯度消失有两个方向，1.用rule激活函数。2.改进损失函数用cross_entropy。

ok,首先我们先看为什么代价损失函数可以用Cross_entropy.

以前使用的二次代价函数很好理解：

    

  即：计算值与真实值的残差。

它有两个特点：

1.损失函数永远大于0.

2.计算值与真实值越接近，损失函数越小。两者差距越大，损失函数越大。

我们现在假设这是损失函数的基本要求。

那cross-entropy损失函数满足这些要求吗？

 

      首先，可以证明该函数是大于0的

   其次，当y=0时（即真实值为0）若a=0(计算值为0)，c = 0*ln0 + 1*ln1  等于0(前项等于0，后项也等于0)。

   当y=1时，若a=0, c = ln0 +  0*ln1等于无穷大。

即：计算值与真实值差距越大，损失函数越大。反之亦然。

所以cross-entropy满足我们对损失函数的定义。所以他是个合格的损失函数

这里我们其实会发现 当y=0,a=1这样的极端情况出现时，损失函数无穷大。程序会出问题，我们可以对cross-entropy做一个修改：y*ln((a+0.05)/1.05))+(1-y)*ln((1.05-a)/1.05)

ok,下一个话题。为什么cross-entroy可以抑制梯度消失。

根据上个话题我们知道了激活函数为sigmoid、损失 函数为二次代价函数时，w、b的跟新速度与激活函数的导数相关。

那么损失函数换成cross-entropy会怎样呢

再来一波公式：

由以上推导可得w、b对损失函数的偏导，即w、b的更新速度只与（a-y）有关，也就是只与预测值与真实值的差距有关。不同于二次代价函数的更新速度和激活函数的导数成正比（上篇提到）。

这样就会有一个比较好的性质：

计算值与实际值差距越大，w、b的更新速度越快

具体推导过程，可参见

http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap3.html

为何要选泽交叉熵函数

https://blog.csdn.net/lanchunhui/article/details/50970625

交叉熵代价函数

1. 交叉熵理论

交叉熵与熵相对，如同协方差与方差。

熵考察的是单个的信息（分布）的期望：

 

H(p)=−∑i=1np(xi)logp(xi)H(p)=−∑i=1np(xi)log⁡p(xi)

交叉熵考察的是两个的信息（分布）的期望： 

 

H(p,q)=−∑i=1np(xi)logq(xi)H(p,q)=−∑i=1np(xi)log⁡q(xi)

详见 wiki Cross entropy

y = tf.placeholder(dtype=tf.float32, shape=[None, 10])

.....

scores = tf.matmul(h, w) + b
probs = tf.nn.softmax(scores) 
loss = -tf.reduce_sum(y*tf.log(probs))

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2. 交叉熵代价函数

 

LH(x,z)=−∑k=1dxklogzk+(1−xk)log(1−zk)LH(x,z)=−∑k=1dxklog⁡zk+(1−xk)log⁡(1−zk)

xx 表示原始信号，zz 表示重构信号，以向量形式表示长度均为 dd，又可轻易地将其改造为向量内积的形式。

3. 交叉熵与 KL 散度（也叫相对熵）

• Intuitively, why is cross entropy a measure of distance of two probability distributions?
• 熵、交叉熵、相对熵（KL 散度）意义及其关系
• 机器学习基础（五十八）—— 香农熵、相对熵（KL散度）与交叉熵

所谓相对，自然在两个随机变量之间。又称互熵，Kullback–Leibler divergence（K-L 散度）等。设 p(x) 和 q(x) 是 X 取值的两个概率分布，则 p 对 q 的相对熵为：

 

DKL(p||q)===∑i=1np(xi)logp(xi)q(xi)∑i=1np(xi)logp(xi)−∑i=1np(xi)logq(xi)−H(p)+H(p,q)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log⁡p(xi)q(xi)=∑i=1np(xi)log⁡p(xi)−∑i=1np(xi)log⁡q(xi)=−H(p)+H(p,q)

（在稀疏型自编码器损失函数的定义中，基于 KL 散度的惩罚项常常定义成如下的形式：

 

H(ρ||ρ^)=−∑j=1m[ρjlog(ρ^j)+(1−ρj)log(1−ρ^j)]H(ρ||ρ^)=−∑j=1m[ρjlog⁡(ρ^j)+(1−ρj)log⁡(1−ρ^j)]

其中：ρ^=1k∑i=1khiρ^=1k∑i=1khi（遍历的是层内的所有输出，∑mj=1∑j=1m 则是遍历所有的层））

4. 神经网络中的交叉熵代价函数

为神经网络引入交叉熵代价函数，是为了弥补 sigmoid 型函数的导数形式易发生饱和（saturate，梯度更新的较慢）的缺陷。

首先来看平方误差函数（squared-loss function），对于一个神经元（单输入单输出），定义其代价函数： 

 

C=(a−y)22C=(a−y)22

其中 a=σ(z),z=wx+ba=σ(z),z=wx+b，然后根据对权值（ww）和偏置（bb）的偏导（为说明问题的需要，不妨将 x=1,y=0x=1,y=0）： 

 

∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)∂C∂b=(a−y)σ′(z)=aσ′(z)∂C∂w=(a−y)σ′(z)x=aσ′(z)∂C∂b=(a−y)σ′(z)=aσ′(z)

根据偏导计算权值和偏置的更新： 

 

w=w−η∂C∂w=w−ηaσ′(z)b=b−η∂C∂b=b−ηaσ′(z)w=w−η∂C∂w=w−ηaσ′(z)b=b−η∂C∂b=b−ηaσ′(z)

无论如何简化，sigmoid 型函数的导数形式 σ′(z)σ′(z) 始终阴魂不散，上文说了 σ′(z)σ′(z) 较容易达到饱和，这会严重降低参数更新的效率。

为了解决参数更新效率下降这一问题，我们使用交叉熵代价函数替换传统的平方误差函数。

对于多输入单输出的神经元结构而言，如下图所示： 

 

我们将其损失函数定义为： 

 

C=−1n∑xylna+(1−y)ln(1−a)C=−1n∑xyln⁡a+(1−y)ln⁡(1−a)

其中 a=σ(z),z=∑jwjxj+ba=σ(z),z=∑jwjxj+b

最终求导得： 

 

∂C∂w=1n∑xxj(σ(z)−y)∂C∂b=1n∑x(σ(z)−y)∂C∂w=1n∑xxj(σ(z)−y)∂C∂b=1n∑x(σ(z)−y)

就避免了 σ′(z)σ′(z) 参与参数更新、影响更新效率的问题；