1.两数之和

　　题目：给定一个整数数组nums和一个目标值target，请你在该数组中找出和为目标值的那两个整数，并返回他们的数组下标。（你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素不能使用两遍。）

　　示例：给定 nums = [2, 7, 11, 15], target = 9，返回 [0, 1]，因为 nums[0] + nums[1] = 2 + 7 = 9

　　方法一：暴力循环，时间复杂度O(n²),空间复杂度O(1)

class Solution {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
            //外层循环遍历数组，内层循环从i+1向后寻找值为target-nums[i]的元素
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) {
                    if (target - nums[i] == nums[j]) {
                        return new int[]{i, j};
                    }
                }
            }
            //如果不存在返回一个空的数组
            return new int[0];
        }
    }

 　　方法二：使用哈希表将时间复杂度降到O(n),空间复杂度也因此变为O(n)。在方法一中，使用外层循环时间复杂度为O(n)，内层循环遍历查找值为target-nums[i]的元素，如果这个查找过程的时间复杂度简化为O(1)，那么整体的时间复杂度就是O(n)。

class Solution {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
            HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                //查找map中key为target - nums[i]的值，时间复杂度为O(1)
                if (map.containsKey(target - nums[i])) {
                    return new int[]{map.get(target - nums[i]), i};
                }
                //将当前的nums[i]放入Map，供后面查找
                map.put(nums[i], i);
            }
            //如果不存在返回一个空的数组
            return new int[0];
        }
    }

　　解析：为什么哈希表查询key的时间复杂度是O(1)?

　　哈希表也叫散列表，它通过key值计算直接得到存储在内存中的位置，计算的函数就叫哈希函数，即y=f(key)。就好像根据数组下标去获取元素一样，如果知道了数组的首地址，那么其他元素的地址都可以通过下标计算得来，所以用数组下标获取数组元素的时间复杂度是O(1)。而如果只知道元素的值不知道下标，那么数组的查询时间复杂度也是O(n)，因为要遍历数组进行元素值的比较；而哈希表相当于直接通过key的值计算得到它的下标位置了，因此时间复杂度为O(1)。

　　以代码中使用的HashMap为例，它的底层采用的是数组+链表+红黑树，首先通过key的哈希值对数组长度取余，得到key-value存放在数组中的位置，如果这个位置已经有其它值了（即发生了哈希冲突），那么在当前位置再延伸出一个链表继续存放，再往下为了提高查询效率又加入了红黑树。

　　总而言之，哈希表的查询时间复杂度为O(1)是因为它可以通过key值直接计算得到存储位置，而不需要去遍历一个一个比较key值是否相等（时间复杂度为O(n)的方式）。