完全背包优化及模板

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路：

与01背包不同的是一个物品可以选无穷个，写出递推关系：

dp[ 0 ] [ j ] =0,dp[ i+1 ] [ j ]=max{ dp[ i-k*w[i] ]+k*v[i] }(k>=0)

可以写出程序

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<=w;++j)
        for(int k=0;k*w[i]<=j;++k)
            dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);

但这个循环有三层，复杂度太高，我们可以优化一下：

       完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=0;j<=w;++j)
    {
        if(j<w[i])
            dp[i+1][j]=dp[i][j];
        else
            dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
    }

我们还可以优化空间，改成一维数组

for(int i=0;i<n;++i)
    for(int j=w[i];j<=w;++j)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);