为什么是 n(n+1)/2 ?

n(n+1)/2是一个数列的元素两两运算后的不重复结果数。如图：

假如数列a = 1,2,3....n。那么该数列内的元素两两相乘，则会构建出上图中的表格，这个表格应该有n x n 个元素。

用程序写出来大概就是这样：

for (int i=0; i<n; i++){
  for (int j=0; j<n; j++){
    table[i][j] = a[i]*a[j];
  }
}

这段程序准确的描述了我们手工填表的过程，填满整个表一共执行了n*n次操作，产生了一个n*n的结果集，当然也包含大量重复元素。

那么到底有多少重复元素呢？ 其实可以通过跟踪整个运算流程来观察出其中的规律。

1.当i=1时， a1 * a1, a1*a2.....a1*an 一切正常。

2.当i=2时， a2 * a1, a2*a2.....a2*an 看到第一项了么，在第一步时已经计算过一次了。

3.当i=3时，a3 * a1, a3*a2, a3* a3....a3*an 第一项在i=1时计算过，第二项在i=2时计算过。

依次类推，可以发现，当i=n的时候，除了an * an 需要计算以外，其他项全都已经计算过了。

现在让我们来一次时光倒流：从i=n的时候开始，他只有最后一次计算是不重复的(an*an)，其余n-1次运算都是"徒劳",所以它产生了n-1个重复元素。

　　　　　　　　　　　　　然后是i=n-1的时候，他只有最后两次运算是不重复的(an-1 * an-1, an-1 * an),余下的n-2个计算结果都是重复的。

　　　　　　　　　　　　　一直进行到当i=2的时候，也就是上面描述的第二步，当第一个重复数出现的时候。

　　　　　　然后就可以把他们都加起来，他们的和就是所有重复数了：r = 1+2+...+n-1

　　　　　　1 1    + 2     + ... + n-1 =r

　　　　　　2 n-1 + n-2 +  ... + 1    =r

 　　　　　　将1式和2式相加=> 2r = n(n-1) => r = n(n-1)/2

得到了重复数r，那么剩下多少不重复的呢？ n*n - r = n(n+1)/2  wala~ QED

----Note---

这其实是一个可重复的N choose M 组合问题，而这里的M是2，有时间的话想好好证明一下这个问题