低价购买 （动态规划，变种最长下降子序列（LIS））

题目描述

“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(2¹⁶范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。

这里是某支股票的价格清单：

日期  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12

价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：

日期    2  5  6 10

价格   69 68 64 62

输入

第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数

第2行: N个数，是每天的股票价格。

输出

输出仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=2³¹)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。

样例输入

12
68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87

样例输出

4 2

　　这题的第一个输出很简单，就是求下最长下降子序列（LIS）的长度，关键在第二问，求出最长下降子序列的个数。
　　仔细读题，题目中说“当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。”
　　举这个例子一共5个数 2 1 1 1 1。这样的最长下降子序列只有一个“2 1”（因为所有的“2 1”认为是同一种情况）。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5500],dp[5500],cnt[5500],n;//dp[i]表示以第i位截止的数列的最长下降子序列（LIS）长度。
                                //cnt[i]表示到第i位，长度为dp[i]的LIS有几个（下面会去重）。
int main()
{
    //freopen("de.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        int ans=0;
        for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        memset(cnt,0,sizeof cnt);
        for (int i=1;i<=n;++i)//n^2复杂度求LIS
        {
            dp[i]=1;
            for (int j=1;j<i;++j)
            {
                if (a[j]>a[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(dp[i],ans);
        }
        for (int i=1;i<=n;++i)//处理符合最长下降子序列长度的数列个数
        {
            for (int j=1;j<i;++j)
            {
                if (a[j]>a[i]&&dp[j]+1==dp[i])
                cnt[i]+=cnt[j];
                if (dp[i]==dp[j]&&a[i]==a[j])//题目说“看起来一样”就算是一样，此时dp[i]=dp[j]&&a[i]=a[j]
                                            //这两种情况完全一样，所以在这里对i位以前的j位进行清零
                cnt[j]=0;
            }
            if (dp[i]==1)
            cnt[i]=1;
        }
        int sum=0;
        for (int i=1;i<=n;++i)
        {
            if (dp[i]==ans)
            sum+=cnt[i];
        }
        printf("%d %d
",ans,sum);
    }
    return 0;
}
/*
    Time:208 ms
    Memory:1760 kb
*/

这道题求LIS时复杂度是n^2，最快的方法是nlogn，但是nlogn算法的dp[i]的意义就大不一样了。这个n^2的算法还可以对第二问的思路进行辅助。