LeetCode-300 最长上升子序列

LeetCode_300 最长上升子序列

description:

给定一个无序的整数数组nums，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路：

思路一：直接粗暴，O(n^2)动态规划

这个思路比较简单粗暴，定义dp[i]为以[0,i]为区间的，且以nums[i]为尾的最长上升子序列的值。循环遍历数组nums,当遍历到nums[i]时，dp[0]~dp[i-1]都已经算出来了。
那么状态转移方程为：

    dp[i] = max(dp[j])+1;其中  0<=j<=i-1;

代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(!n)
            return 0;
        int dp[n];
        int ans = 1;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            dp[i] = 1;
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j]){
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
                    ans = max(ans,dp[i]);
                }
            }
            ans = max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;

    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：O(n^2)，双层遍历

空间复杂度：O(n)，需要一个dp数组

思路二：二分+贪心

这个思路比较tricky，不容易想到。
维护一个数组dp，dp[i]表示以i+1为最长上升子序列的最后一个元素，可以证明dp数组是严格递增的。
遍历nums，然后去dp中寻找第一个比nums大的数（这里用到二分查找，查找floor），然后替换它；如果nums>dp.back()，直接将nums添加到dp的末尾；

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(!n)
            return 0;
        vector<int> dp;
        dp.push_back(nums[0]);
        for(int i=1;i<n;i++){
            if(nums[i]>dp.back()){
                dp.push_back(nums[i]);
            }else{
                int l = 0;
                int r = dp.size()-1;
                while(l<r){
                    int mid = l + (r-l)/2;
                    if(dp[mid]<nums[i]){
                        l = mid+1;
                    }else{
                        r = mid;
                    }
                }
                dp[l] = nums[i];
            }
        }
        return dp.size();
    }
};