The Clocks

【原题链接】

【题意说明】

一组9面钟的初始时间点数，时间只能为3、6、9、12这四种整点数，再给出9种拨动钟表的方案，每次每面钟最多能顺时针拨动90度，即由3->6，6->9，9->12，12->3。问最少使用几种方案，就可使所有的钟表都拨到12点！若使用拨动方案数相同，则输出字典序最小的方案。

9面钟编号：

A B C
　　D E F
　　G H I

移动方案：

1  ABDE
　　2  ABC
　　3  BCEF
　　4  ADG
　　5  BDEFH
　　6  CFI
　　7  DEGH
　　8  GHI
　　9  EFHI

【问题分析】

首先我思考的是搜索，求最优，如何保存状态呢？状态压缩，可以看出：每种方案最多使用0～3次（因为使用4次就相当于没有使用），所以最多的状态为4^9=26144，经过编码，完全可以保存下来，而且搜索的时间复杂度应该不算太高！当然如果使用dfs，完全无视空间的状态存储（基本不会栈溢出了）！只需要考虑一下适当的剪枝，进行优化即可！

这里再来说说非搜索的思路：

（1）所有的钟面只有4种状态（3，6，9，12），对就可转化为（1，2，3，0）

（2）所有的方案只能拨动某些钟面到下一个状态，如方案1可拨动A、B、D、E，其它的不能拨动，我们可以把它扩展记为1 1 0 1 1 0 0 0 0，表示对9面钟的控制状态。这样所有的方案转化为：

1 1 0 1 1 0 0 0 0
　　1 1 1 0 0 0 0 0 0
　　0 1 1 0 1 1 0 0 0
　　1 0 0 1 0 0 1 0 0
　　0 1 0 1 1 1 0 1 0
　　0 0 1 0 0 1 0 0 1
　　0 0 0 1 1 0 1 1 0
　　0 0 0 0 0 0 1 1 1
　　0 0 0 0 1 1 0 1 1

这样可以看出这个表（记录A[i][j])中的每列都是控制一面钟，若假定每种方案的使用次数为b[i]，每面钟的初始状态为c[i]，这样就可以计算出每面钟最少需要拨动几次就能达到目标状态，修改c[i]的值为最少拨动的次数。这样我们就可以建立以下的方程：

sum(A[i][j]*b[i])%4=c[j]（其中b[i]表示第i种方案使用的次数，且0≤b[i]≤3)

写成一般方程组形式为：Ab=c -->b=A^-1c，（其中：A为方程的系数矩阵，A^-1为矩阵的逆）

这样我只要求出矩阵A的逆，即可计算出b[i]的值。由数论的知识可知通过初等行变换，可以把A|E-->E|A^-1，注意在求逆的过程中，要加遇负转正，且要模4的处理，最终计算得A^-1为：

3 3 3 3 3 2 3 2 0
　　2 3 2 3 2 3 1 0 1
　　3 3 3 2 3 3 0 2 3
　　2 3 1 3 2 0 2 3 1
　　2 3 2 3 1 3 2 3 2
　　1 3 2 0 2 3 1 3 2
　　3 2 0 3 3 2 3 3 3
　　1 0 1 3 2 3 2 3 2
　　0 2 3 2 3 3 3 3 3

至此，我们就可以通过二重循环以求得每个b[i]的值，即：

b[i]=sum(A^-1[i][j]*c[j])%4

最后按要求输出这些b[i]的值即可。