动态规划：0-1背包

一、问题描述：

　　有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、动态规划的原理及过程：

　　eg：number＝4，capacity＝8

i	1	2	3	4
w(体积)	2	3	4	5
v(价值)	3	4	5	6

 

1.原理

　　动态规划是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。动态规划则通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

2.过程

　　（1）用v[i]表示物品价值，w[i]表示物品重量。定义状态dp[i][j]以j为容量为放入前i个物品(按i从小到大的顺序)的最大价值。

　　（2）初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

　　（3）对于每一个物品，有两种选择方法，能装下和不能装下。

　　　　第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

　　　　第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

　　（4）得出递推关系式：

　　　　① j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)            //只是为了好理解，可以不用写，不会影响结果。

　　　　② j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

3.图解

1.初始状态将边界初始化为0。j表示背包的的重量，i表示第i个物品，填表方式为一行一行的填，每次填写的时候取 V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)中的较大值

2.将数组更新完则是这样的情况。随便取一个举例子，比如第二行第五个的7。它是由3，v[2][2]+4=7中的较大值比较出来的。

三、代码

　　对于0-1背包的代码可以有很多种形式，只要是状态转移方程正确即可。用二维数组来存储表格代码如下。

#include <iostream>

using namespace std;

int w[105], val[105];
int dp[105][1005];

int main()
{
    int t, m, res=-1;
    cin >> t >> m;
    for(int i=1; i<=m; i++)
        cin >> w[i] >> val[i];
    
    for(int i=1; i<=m; i++) //物品 
        for(int j=t; j>=0; j--) //容量 
        {
            if(j >= w[i])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+val[i], dp[i-1][j]);
            else      //只是为了好理解
                dp[i][j] = dp[i-1][j];           
        }
    cout << dp[m][t] << endl;
    return 0;
}

四、空间优化

　　由上面的图可以看出来，每一次V(i)(j)改变的值只与V(i-1)(x) {x:1...j}有关，V(i-1)(x)是前一次i循环保存下来的值；

　　因此，可以将V缩减成一维数组，从而达到优化空间的目的，状态转移方程转换为 B(j)= max{B(j), B(j-w(i))+v(i)}；

　　并且，状态转移方程，每一次推导V(i)(j)是通过V(i-1)(j-w(i))来推导的，所以一维数组中j的扫描顺序应该从大到小(capacity到0)，否者前一次循环保存下来的值将会被修改，从而造成错误。

　　代码：

//求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包承重量t，且价值总和最大。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
 
int f[1010],w[1010],v[1010];//f记录不同承重量背包的总价值，w记录不同物品的重量，v记录不同物品的价值
 
int max(int x,int y){//返回x,y的最大值
    if(x>y) return x;
    return y;
}
 
int main(){
    int t,m,i,j;
    memset(f,0,sizeof(f));  //总价值初始化为0
    scanf("%d %d",&t,&m);  //输入背包承重量t、物品的数目m
    for(i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);  //输入m组物品的重量w[i]和价值v[i]
    for(i=1;i<=m;i++){  //尝试放置每一个物品
        for(j=t;j>=w[i];j--){//倒叙是为了保证每个物品都使用一次
            f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]);
            //在放入第i个物品前后，检验不同j承重量背包的总价值，如果放入第i个物品后比放入前的价值提高了，则修改j承重量背包的价值，否则不变
        }
    }
    printf("%d",f[t]);  //输出承重量为t的背包的总价值
    printf("
");
    getch();
    return 0;
}