一、基本概念
在介绍最长公共公共子序列之前，先说一下这里的基本概念。
1.串和序列：
串： 串是一个连续的部分。比如在12345这个数列中，123这个是一个串，45也是一个串。而135不是一个串。
序列：子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列。还是12345这个数列，135是一个序列，24也是一个序列，当然123也是一个序列。
异同：串中字符的位置必须是连续的，序列则可以不必连续。
2.子串和子序列
就是一个数列或者字符列的一部分。子串就是位置连续的一部分，子序列就是不必连续的一部分。
3.最长上升子序列（LIS）
就是在子序列的基础上添加了两个定语。上升就是按一个顺序（升序、降序、非上升、非下降等），最长就是最长的一部分。
最长上升子序列就是指一个序列中最长的单调递增的子序列
比如在1352496这个序列中，546（随便举得例子）是一个子序列，但不是上升子序列。3 5 6（也是随便举得例子）就是一个上升子序列。
但是不是最长的，1 3 4 9则是一个最长的上升子序列。同样1 2 4 6也是一个最长的上升子序列。所以最长上升子序列并不一定是唯一的。
4.最长公共子序列(LCS)
有了公共这个定语，那么至少就是在两个数列或者字符列中找最长的公共的部分。就是说一个数列 ，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则称为是最长公共子序列。
比如在1352496和382546这两个序列中，3 4是公共子序列，2 4 也是公共子序列。但不是最长的，最长的公共子序列为3 2 4 6。
二、最长上升子序列
①算法1(n^2)
我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止
然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。
我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]);
显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。
模板：
#include<stdio.h> int main() { int n,i,j,num,h[1000],max[1000]; while(~scanf("%d",&n)) { num=1; for(i=0; i<n; ++i) { scanf("%d",&h[i]); max[i]=1; } for(i=1; i<n; ++i)/*求最长上升子序列*/ for(j=0; j<i; ++j) { if(h[j]<h[i]&&max[j]+1>max[i])/*用两个数组，方便理解，如果只是求最长上升子序列，可以直接max[j]和num比较取较大值*/ max[i]=max[j]+1; if(num<max[i]) num=max[i]; } printf("%d ",num); } return 0; }
②算法2(nlogn):
维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，
c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道，
只要当前考察的这个数比c[i]大，那么当前这个数一定能通过c[i]构成一个长度为i+1的上升子序列。
当然我们希望在C数组中找一个尽量靠后的数字，这样我们得到的上升子串的长度最长，查找的时候使用二分搜索，这样时间复杂度便下降了。
举例说明一下（复制自某大牛）：
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
模板：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <iostream> #define MAXN 40005 using namespace std; int arr[MAXN],ans[MAXN],len; int main() { int n; int T; cin>>T; while(T--) { cin>>n; for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&arr[i]); ans[1] = arr[1]; len=1; for(int i=2; i<=n; ++i) { if(arr[i]>ans[len]) ans[++len]=arr[i]; else { int pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans; ans[pos] = arr[i]; } } cout<<len<<endl; } return 0; }
顺便附上手写的二分
int binary_search(int i) { int left,right,mid; left=0,right=len; while(left<right) { mid = left+(right-left)/2; if(ans[mid]>=arr[i]) right=mid; else left=mid+1; } return left; } //int pos=binary_search(i) 这样调用就好了
三、最长公共子序列
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
状态转移方程如下：
首先做初始化。将c[0][i]和从c[i][0]初始化为0，然后一行一行的填表。
代码：
#include<cstring> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> const int qq=1e3+10; char x[qq],y[qq]; int dp[qq][qq]; int main() { while(~scanf("%s%s",x+1,y+1)) { x[0]=y[0]='.'; int len=strlen(x)>strlen(y)?strlen(x):strlen(y); for(int i=0; i<=len; ++i) dp[i][0]=dp[0][i]=0; for(int j,i=1; i<strlen(x); ++i) for(j=1; j<strlen(y); ++j) if(x[i]==y[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; else dp[i][j]=dp[i-1][j]>dp[i][j-1]?dp[i-1][j]:dp[i][j-1]; printf("%d ",dp[strlen(x)-1][strlen(y)-1]); } return 0; }
三、最长公共子串
明白了最长公共子序列后，最长上升字串特别简单，状态转移方程如下：
代码如下：
#include<cstring> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> const int qq=1e3+10; char x[qq],y[qq]; int dp[qq][qq]; int main() { while(~scanf("%s%s",x+1,y+1)) { int max_len=0; for(int i=0; i<strlen(x); i++) { for(int j=0; j<strlen(y); j++) { if(x[i]==y[j]) { if(i>0&&j>0) { dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1; } else { dp[i][j]=1; } if(max_len<dp[i][j]) { max_len=dp[i][j]; } } } } printf("%d ",max_len); } return 0; }