快速幂取模和快乘取模

一、快速幂取模概念

　　快速幂取模，顾名思义，就是快速的求一个幂式的模(余)，比如a^b%c，快速的计算出这个式子的值。

　　在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。

二、快速幂取模算法实现

　1）很容易能想到，循环b次，每次乘a，最后对c取余就可以了。

int ans = 1;
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

　　这个朴素算法的问题是：

　　　　1.如果a和b都很大，那么ans很有可能超出long long类型，最后结果错误

　　　　2.如果b很大，这样计算会超时。

　　所以对这个算法需要改进

　2）有一个很简单的公式如下： 

    　　 

　　证明略，由上面公式我们可以对上面算法进行优化

int ans = 1;
a = a % c;
for(int i = 1; i<=b; i++)
{
    ans = (ans * a) % c；//这里再取了一次余
}
ans = ans % c；

　　这样就解决了超出long long的问题了，但是时间复杂度还没有降低。

　3）为了解决超时问题，我们可以使用下面的公式，证明略

　　　　

int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
    ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我们取a2而不是a
for(int i = 1; i<=b/2; i++)   　　
{
    ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;

　　这样，我们就把时间复杂度降到b/2了，观察上式子，可以发现，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，当下次求(k)^b/2 mod c时，我们可以继续对这个式子记成上面格式，我们发现这个过程是可以重复下去的。

　4）最终我们得到快速幂取模的算法

int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)　
{
    if(b % 2 == 1)
        ans = (ans * a) % c;
    b = b/2;
    a = (a * a) % c;　
}

三、快速幂取模模板

LL poww(LL a, LL b, LL c)//a^b%c
{
    LL ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 == 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

 四、快乘取模

　1.概念：

　　快速乘法是求两个数相乘，即求解a*b%c，很明显这个不会超时，但是如果当a和b特别大的时候，两个数相乘可能超过long long 范围，所以要使用快速乘法，因为在加法运算的时候不会超，而且可以直接取模，这样就会保证数据超不了了。快速乘法的思想和快速幂的思想一样，快速幂是求一个数的高次幂，快速乘法是求两个数相乘。

　2.算法实现：

　　这样的式子和a^b%c很像，所以可以用类似于快速幂取模的方法来做。即，将b写成二进制来看，然后拆开相加（正因为二进制的特殊性，才有快速乘和快速幂的成功），比如下面的例子：

　 

32+16+4=52  （实际操作过程中，每次相加都取模）

这一过程和快速幂取模非常相似。

　3.模板：

int multiMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 0;//注意初始化是0，不是1
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans=(ans+a)%c;
        a = (a + a) % c;//和快速幂一样，只不过这里是加
        b >>= 1;
    }
    return ans;　
}