乘法逆元

1.使用情况：

　　用法1.在求解除法取模问题(a/b)%m时，我们可以转化为(a%(b∗m))/b， 
　　但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。 

　　用法2.当我们要求（a/b） mod m的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。
　　我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod m。其结果与(a/b) mod m等价。

 

　　遇到上面的情况，我们可以使用逆元将除法转换为乘法： 

　　假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b∗c≡1(modm)，

　　那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm) 

　　即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

2.方法：

1. 逆元求解一般利用扩欧。
2. 当m为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数使用欧拉函数。
3. 当m为质数的时候，神奇的线性方法。

3.代码：

#include<cstdio>
#include <math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int p = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 5;
ll inv[N];

ll inv1(ll a)//递推法求逆元
{
    return a==1?1:(p-p/a)*inv1(p%a)%p;
}

void inv2(ll n)//通过递推进行逆元打表
{
    inv[1] = 1;
    for (ll i=2; i<=n; ++i)
    {
        inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;
    }
}

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b)
    {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}
ll inv3(ll a)//扩展欧几里得
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

ll inv4(ll a, ll b)//费马小定理
{
    ll res = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            res = (res*a)%p;
        b = b>>1;
        a = (a*a)%p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    ll b;
    while(1)
    {
        scanf("%lld",&b);
        ll ans1=inv1(b);
        printf("%lld
",ans1);
        inv2(100);//100以内的数对P的逆元
        ans1=inv[b];
        printf("%lld
",ans1);
        ans1=inv3(b);
        printf("%lld
",ans1);
        ans1=inv4(b,p-2);
        printf("%lld
",ans1);
    }
}