博弈

博弈可以看为找规律，不过找规律也是有先当多的套路，很久之前就接触过博弈了，不过一直没有整理，今天稍微整理一下三个基本的博弈。

一、Bash Game：同余理论

一堆n个物品，两人轮流取，每次取1至m个，最后取完者胜

基础：1 ,  2, ...,m是必赢局面，m+1是必输局面
递推：m+2,m+3, ... ,2m+1是必赢局面，2m+2是必输局面 

k(m+1)是必输局面，应该允许k=0,因为0显然也是必输局面  

在必输局和必赢局中，赢的一方的策略是： 拿掉部分物品，使对方面临k(m+1)的局面。

从另一个角度思考这个问题，如果物品数量随机，那么先手一方胜利的概率是m/(m+1)，后手方胜利的概率是1/(m+1)。

1.

int Bash_Game(int n,int m)//是否先手有必赢策略

{   

      if (n%(m+1)!=0)

              return 1;

     return 0;

}

2.HDU2149

/*只有当m小于n时才有可能多出价，否则就不可能给对手留下（n + 1）的局面了。*/
/*输入m卖价和n加价，输出第一次可叫的价格*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int m, n;
    while(~scanf("%d %d", &m, &n))
    {
        if(m % (n + 1) == 0)
            puts("none");
        else
        {
            int i;
            if(m <= n)
                for(i = m; i <= n; i++)
                {
                    printf("%d", i);
                    if(i != n) putchar(' ');
                    else putchar('
');
                }
            else
                printf("%d
", m % (n + 1));
        }
    }
    return 0;
}

二、Nim Game：异或理论

m堆n个物品，两人轮流取，每次取某堆中不少于1个，最后取完者胜

所有物品数目二进制异或为0，则先手必输
所有物品数目二进制异或不为0，则后手必输

从另一个角度思考这个问题，如果物品数量随机，那么每个数目的每一位上1或0概率相同，
如果有奇数个堆，那么1的个数为偶数或者奇数的概率相同，
如果有偶数个堆，那么1的个数为偶数的概率略大1/(m+1)，
也就是说异或结果的每一位为0或1的概率几乎差不多，而先手必输要求异或结果每一位都为0，其实输的概率很小

1.

int Nimm_Game(int n)//假设n个数存在数组f[]中,有必胜策略返回1
{
    int flag=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        flag^=f[i];
    if(flag) 
        return 1;
    return 0;
}

 

 

2.

/*游戏规则如上，如果先手的人能赢，输出他第一步可行的方案数，否则请输出0。*/
/*输入堆数M，输入M个整数N分别表示M堆扑克的数量。M为0结束。*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
int a[200000+10];
int main()
{
    int N;
    while(scanf("%d",&N),N)
    {
        int ans=0,sum=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0; i<N; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            ans^=a[i];
            sum+=a[i];
        }
        if(ans==0)
            printf("No
");
        else
        {
            printf("Yes
");
            //printf("%d
",sum-ans);
            for(int i=0; i<N; i++)
            {
                int x=(a[i]^ans);//ans相当于剩余的个数
                //x相当于去掉 a[i]，即不取a[i]
                //ans=0为先手必败态，先手取掉剩余的个数ans
                //只要先手去掉，就可以使后手成为必败态的先手，即异或为0且先手先取
                if(x<a[i])
                    //如果去掉 a[i]后剩的个数小于堆中的个数，便可取
                    //比如 2堆 3 1 为 必胜态,先手取掉 x即 3-1便可转化为先手必败的1 1
                    printf("%d %d
",a[i],x);
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

三、Wythoff Game：黄金分割

两堆（ak,bk）(ak<=bk)个物品，两人轮流取，每次从一堆中取k个或者从2堆中同时取k个，最后面对(0,0)局面的输（设ak<=bk是为了忽略顺序的影响）

ak是前面必输局未出现的数中最小者，bk=ak+k( k=0,1,2,3,...n)

下面介绍必输局（奇异局）的最重要性质：

1,2,...,n中每一个自然数，出现且只出现在一个奇异局中。

推导：1.由于ak总是选择未出现的数，所以每个数总能出现在奇异局且ak不会选择到重复的数

           2.bk=ak+k，所以bk总是比前面所有奇异局出现的数都大，所以bk不会选择到重复的数

           必赢一方的策略是：始终让对手面对必输局（奇异局）

给定任意局势（a,b），判定（a,b）是否为必输局的方法是：

     k=0,1...n 记黄金比例是φ=1.618033
     ak=[k*φ]，bk=ak+k=[k*φ*φ]
     如    k=0,ak=0,bk=0
            k=1,ak=1,bk=2
            k=2,ak=3,bk=5 

            k=3,ak=4,bk=7

更好的一种判断策略是 k = bk-ak ,如ak=k*φ时，当前局势为奇异局

从胜负概率角度，如果堆中数量随机，先手一方优势很大

1.POJ1067

/*游戏规则如上，你先取，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。*/
/*输入两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目*/
#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
#include"math.h"
int main()
{
    int a,b,t,ak;
    double k;
    k=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
    //printf("%lf",k);
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        if(a>b)
        {
            t=a;
            a=b;
            b=t;
        }
        t=b-a;
        ak=(int)(t*k);
        //printf("%d ",ak);
        if(a==ak)
            printf("0
");
        else
            printf("1
");
    }
}