用来干嘛的
要判断一个数 (n) 是否为素数，最朴素直接的办法是以 (mathcal O(sqrt n )) 时间复杂度从 (2) 到 $ sqrt n$ 循环即可得到最准确的结果。但是如果在 (n) 比较大的情况下，时间花销就太大了。这时，我们可以选择牺牲一点点准确度，使用可爱的米勒-拉宾（(mathrm{Miller-Rabin})）素性检验算法来判断质数。根据百度百科，使用快速幂运算，这个算法的时间复杂度是 (mathcal O(klog^3 n))的，(k)是我们设定对一个数的进行测试的次数。(k) 越大，判断错误的几率越低，保守估计大概是(4^{-k})，实际效果极佳，我们一般取到 (10) 就可以了。
谁搞出来的(摘自百度百科)
米勒-拉宾素性检验是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。卡内基梅隆大学的计算机系教授 (mathrm{Gary Lee Miller}) 首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的 (mathrm{Michael O. Rabin}) 教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。
要用到的数学定理
费马小定理：
如果(p)是一个质数，而且整数(a)与(p)互质（即最小公因数(gcd(a,p) = 1)），则有(a^{p-1}≡1(mod~p))（模(p)同余符号）。但是这个命题的逆命题不一定能判断一个数是否为素数，只能说明不满足(a^{p-1}≡1(mod~p))条件的 (p) 一定是合数。在本算法里，主要就是运用了它的逆命题来检验素数的。
证明：不会，感兴趣的同学可以自己搜索相关证明（很多种），用完全剩余系的证明方法比较容易理解
二次探测定理：
若 (n) 为大于2的素数,则对于任意整数 (a∈[1,n-1]),使方程(a^2=1(mod~n))成立的解有仅有(a=1)或者(a=n-1)。在算法中同样通过判断是否可以满足这个解情况，增强素数判断的准确性。
证明：还是不会，其实挺好证明的。这位博主的分析比较详细，可以看看
算法流程
首先对于一个数 (num),先判断是不是偶数和小于等于2这两种可以直接筛掉的情况。如果不是，那么就正式进入判断流程了。(num) 必为奇数，则(num-1)一定是个偶数，而偶数可以分解为(2^s cdot t = num-1)的形式。这里如果我们让两边作为一个整数(a)的指数，不就可以利用费马小定理(a^{num-1}≡1(mod~num))来检验 (num) 是否为素数了吗？别急，在算出 (a^{2^s cdot t}) 的过程中，我们可以顺便利用二次探测定理来检测，大大提高我们判断的准确度。我们的做法是先随机产生一个比 (num) 小的整数 (a) ,先计算出(a^t) ,在我下面的代码中把这个值记作 (x)。然后循环 (s) 次，每次都用一个变量 (test) 记录 (x^2) 对 (num) 取模的值，如果 (test = 1)则说明(x^2=1(mod~num))成立，进而可以判断 (x) 是否为1或者(num-1) ，如果(x) 都不是则说明 (num) 肯定不是素数啦。反复运用 (s) 次二次探测定理，最后再判断一次(a^{2^s cdot t}≡1(mod~num))是否成立，如果过了最后费马小定理这关，恭喜这个 (num) 经过了第一层考验。我们对 (num) 进行 (k) 次这样的考验，每次取一个不同的 (a) ,如果始终没有返回 ，则说明 (num) 最终通过了 (mathrm{Miller}) 测试。
(mathcal{Code:})
码风极丑警告，注释过多。需要用到快速幂和快速（也叫龟速）乘（不会的同学可以百度一下哦）。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll ;//miller-rabin素数检验一般应用于大数的快速检测，用long long
//快速乘，代替乘法，防止a乘b爆long long
ll qMul(ll a,ll b,ll mod){
ll ans = 0;//a乘b等价转化为b个a相加，和快速幂原理一致
while(b){
if(b&1) ans = (ans+a)%mod;
a = (a+a)%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
//快速幂模板
ll qPow(ll base,ll power,ll mod){
ll ans = 1;
while(power){
if(power&1) ans = qMul(ans,base,mod);
base = qMul(base,base,mod);
power>>=1;
}
return ans%mod;
}
//miller-rabin素数检验函数
bool Miller_Rabin(ll num){
if(num == 2) return true; //2为质数
if(!(num&1)||num<2) return false;//筛掉偶数和小于2的数
ll s = 0,t = num-1; //流程中的s和t，2的s次方*t = num-1
while(!(t&1)){ //当t为偶数的时候，可以继续分解
s++;
t>>=1;
}
for (int i = 1; i <= 10; i++) { //进行十次测试即可得到比较准确的判断
ll a = rand()%(num-1)+1; //流程中的随机整数a，在1到num-1之间
ll x = qPow(a,t,num); //x为二次探测的解
for(int j = 1;j <= s;j++){ //x平方s次可以得到a的num-1次方
ll test = qMul(x,x,num); //test为x平方后对num取模
if(test == 1 && x != 1 && x != num-1) return false; //如果平方取模结果为1，但是作为解的x不是1或者num-1，说明num不是质数，返回
x = test;
}
if(x != 1) return false; //费马小定理作最后检测，a的num-1次方对num取模不等于1，一定不是质数
}
return true; //腥风血雨后仍坚持到最后，基本就是真正的质数了
}
int main(){
ll num;
while(cin>>num){
if(Miller_Rabin(num)) cout<<num<<" is a prime."<<endl;
else cout<<num<<" is not a prime."<<endl;
}
return 0;
}
题目
我就是看了这道题才想去学 (mathrm{Miller-Rabin}) 素数检测的（实际上用朴素的方法也能过），用 (mathrm{Miller-Rabin}) 可以比朴素的算法快十倍（如果哪一天被卡了别打我）。感兴趣的可以去做一下，搞出回文数后套 (mathrm{Miller-Rabin}) 算法判断即可，注意要开 (mathrm{long long}) 。
博客园第一篇博文，谢谢观看ヾ(≧▽≦*)o,如果觉得有帮助请给我点个小心心 (*>.<*)