图->连通性->最小生成树(普里姆算法)

文字描述

　　用连通网来表示n个城市及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。对于n个定点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。现在，我们要选择这样一个生成树，使总的耗费最少。这个问题就是构造连通网的最小代价生成树(Minimum Cost Spanning Tree: 最小生成树)的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。

　　有多种算法可以构造最小生成树，其他多数都利用的最小生成的MST(minimum spanning tree)性质: 假设N={V, {E}}是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值(代价)的边，其中u属于U， v属于V-U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。 该性质可以用反证法证明。

       现介绍普里姆(Prim)算法是如何利用MST性质求连通图的最小生成树的：

       假设N={V,{E}}是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0} (u0属于V， TE={})开始，重复执行下述操作：在所有u属于U， v属于V-U 的边(u,v)属于E 中找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。

       为实现这个算法需附设一个辅助数组closeedge, 以记录从U到V-U具有最小代价的边。对每个属于V-U的顶点vi ，在辅助数组中存在一个相应分量closedge[i-1],它包括两个域：     

　　1：lowcose：存储该边上的权； 显然closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u,vi) | u属于U}

　　2：vex: 存储该边依附的U中的顶点。

示意图

算法分析

　　在代码实现中的MinSpanTree_PRIM函数中。若网中有n个顶点， 则第一个初始化的循环语句的频度为n，第二个循环语句的频度为n-1；其中第二个循环中有两个内循环：其一是在 closedge[v].lowcost中求最小值，其频度为n-1；其二是重新选择具有最小代价的边，其频度为n。由此，普里姆算法的时间复杂度为n^2, 与网中的边数无关，因此使用适用于求边稠密的网的最小生成树。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define DEBUG

#ifdef DEBUG
#include <stdarg.h>
#define LOG(args...) _log_(__FILE__, __FUNCTION__, __LINE__, ##args);
void _log_(const char *file, const char *function, int line, const char * format, ...)
{
    char buf[1024] = {0};
    va_list list;
    va_start(list, format);
    sprintf(buf, "[%s,%s,%d]", file, function, line);
    vsprintf(buf+strlen(buf), format, list);
    sprintf(buf+strlen(buf), "
");
    va_end(list);
    printf(buf);
}
#else
#define LOG
#endif // DEBUG

#define INFINITY        100000    //最大值
#define MAX_VERTEX_NUM    20        //最大顶点数

//---------邻接矩阵的存储结构-----------------------------------------

//////////////////////////////////////////////////////////////
// 邻接矩阵作为图的存储结构
//////////////////////////////////////////////////////////////
typedef enum {DG, DN, UDG, UDN} GraphKind; //{有向图，有向网，无向图，无向网}
typedef int  VRType;
typedef char VertexType;    //顶点类型
typedef struct{
    char note[10];
}InfoType;
typedef struct ArcCell{
    VRType adj;        //顶点关系类型：1)对无权图，用1或0表示相邻否；2)对带权图，则为权值类型
    InfoType *info;    //该弧相关信息的指针
}ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
    VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];    //顶点向量
    AdjMatrix arcs;        //邻接矩阵
    int vexnum, arcnum;    //图的当前顶点数和弧数
    GraphKind kind;        //图的种类标志
}MGraph;


//---------采用邻接矩阵创建无向网-----------------------------------------

//////////////////////////////////////////////////////////////
// 若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返回-1。
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int LocateVex(MGraph G, VertexType v){
    int i = 0;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++){
        if(G.vexs[i] == v){
            return i;
        }
    }
    return -1;
}


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// 采用数组表示法(邻接矩阵)，构造无向网
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int CreateUDN(MGraph *G)
{
    printf("
创建一个无向网(带权):
");
    int i = 0, j = 0, k = 0, IncInfo = 0;
    int v1 = 0, v2 = 0, w = 0;
    char tmp[10] = {0};
    printf("输入顶点数，弧数，其他信息标志位: ");
    scanf("%d,%d,%d", &G->vexnum, &G->arcnum, &IncInfo);
    for(i=0; i<G->vexnum; i++)
    {
        printf("输入第%d个顶点: ", i+1);
        memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
        scanf("%s", tmp);
        G->vexs[i] = tmp[0];
    }
    for(i=0; i<G->vexnum; i++)
    {
        for(j=0; j<G->vexnum; j++)
        {
            G->arcs[i][j].adj = INFINITY;
            G->arcs[i][j].info = NULL;
        }
    }
    for(k=0; k<G->arcnum; k++)
    {
        printf("输入第%d条弧: 弧尾, 弧头，权值: ", k+1);
        memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
        scanf("%s", tmp);
        sscanf(tmp, "%c,%c,%d", &v1, &v2, &w);
        i = LocateVex(*G, v1);
        j = LocateVex(*G, v2);
        G->arcs[i][j].adj = w;
        if(IncInfo){
            //
        }
        G->arcs[j][i] = G->arcs[i][j];
    }
    return 0;
}

int CreateGraph(MGraph *G)
{
    printf("输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): ");
    scanf("%d", &G->kind);
    switch(G->kind)
    {
        case DG:
        case DN:
        case UDG:
            printf("还不支持!
");
            return -1;
        case UDN:
            return CreateUDN(G);
        default:
            return -1;
    }
}


//////////////////////////////////////////////////////////////
// 打印邻接矩阵中的信息
//////////////////////////////////////////////////////////////
void printG(MGraph G)
{
    printf("
打印邻接矩阵:
");
    if(G.kind == DG){
        printf("类型：有向图；顶点数 %d, 弧数 %d
", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == DN){
        printf("类型：有向网；顶点数 %d, 弧数 %d
", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == UDG){
        printf("类型：无向图；顶点数 %d, 弧数 %d
", G.vexnum, G.arcnum);
    }else if(G.kind == UDN){
        printf("类型：无向网；顶点数 %d, 弧数 %d
", G.vexnum, G.arcnum);
    }
    int i = 0, j = 0;
    printf("	");
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
        printf("%c	", G.vexs[i]);
    printf("
");
    for(i=0; i<G.vexnum; i++){
        printf("%c	", G.vexs[i]);
        for(j=0; j<G.vexnum; j++){
            if(G.arcs[i][j].adj == INFINITY){
                printf("INF	");
            }else{
                printf("%d	", G.arcs[i][j].adj);
            }
        }
        printf("
");
    }
}


//---------求最小生成树的算法。(普里姆算法)-----------------------------------------

//////////////////////////////////////////////////////////////
// 定义辅助数组CloseEdge： 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组。
//////////////////////////////////////////////////////////////
struct Edge{
    VertexType adjvex;
    VRType  lowcost;
}CloseEdge[MAX_VERTEX_NUM];

//////////////////////////////////////////////////////////////
// 返回辅助数组中， 权值最小的顶点的位置。
//////////////////////////////////////////////////////////////
int minimum(struct Edge edgelist[], int count)
{
    int ret = -1;
    int min = INFINITY;
    int i = 0;
    for(i=0; i<count; i++) {
        if ((edgelist[i].lowcost) && (edgelist[i].lowcost < min)) {
            ret = i;
            min = edgelist[i].lowcost;
        }
    }
    return ret;
}

//////////////////////////////////////////////////////////////
// 采用普里姆算法求最小生成树的算法。
//////////////////////////////////////////////////////////////
void MinSpanTree_PRIM(MGraph G, VertexType v)
{
    printf("
采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为:
");
    int k = -1;
    int i = 0;
    int j = 0;
    k = LocateVex(G, v);
    //辅助数组初始化
    for(j=0; j<G.vexnum; j++){
        if(j!=k)
        {
            CloseEdge[j].adjvex = v;
            CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
        }
    }
    //初始状态下， U={v}
    CloseEdge[k].lowcost = 0;
    //选择其余的G.vexnum-1个顶点
    for(i=1; i<G.vexnum; i++)
    {
        //求出T的下一个结点，第k个顶点
        k = minimum(CloseEdge, G.vexnum);
        //输出生成树的边
        printf("%c, %c
", CloseEdge[k].adjvex, G.vexs[k]);
        //第k个顶点并入U集合
        CloseEdge[k].lowcost = 0;
        //新顶点并入U后重新选择最小边。
        for(j=0; j<G.vexnum; j++){
            if(G.arcs[k][j].adj < CloseEdge[j].lowcost){
                CloseEdge[j].adjvex = G.vexs[k];
                CloseEdge[j].lowcost = G.arcs[k][j].adj;
            }
        }
    }
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    MGraph G;
    if(CreateGraph(&G) > -1)
        printG(G);
    MinSpanTree_PRIM(G, G.vexs[0]);
    return 0;
}

代码运行

/home/lady/CLionProjects/untitled/cmake-build-debug/untitled
输入图类型: -有向图(0), -有向网(1), -无向图(2), +无向网(3): 3

创建一个无向网(带权):
输入顶点数，弧数，其他信息标志位: 6,10,0
输入第1个顶点: a
输入第2个顶点: b
输入第3个顶点: c
输入第4个顶点: d
输入第5个顶点: e
输入第6个顶点: f
输入第1条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,a,1
输入第2条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,b,5
输入第3条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,d,5
输入第4条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,e,6
输入第5条弧: 弧尾, 弧头，权值: c,f,4
输入第6条弧: 弧尾, 弧头，权值: a,b,6
输入第7条弧: 弧尾, 弧头，权值: b,e,3
输入第8条弧: 弧尾, 弧头，权值: e,f,6
输入第9条弧: 弧尾, 弧头，权值: f,d,2
输入第10条弧: 弧尾, 弧头，权值: d,a,5

打印邻接矩阵:
类型：无向网；顶点数 6, 弧数 10
    a    b    c    d    e    f    
a    INF    6    1    5    INF    INF    
b    6    INF    5    INF    3    INF    
c    1    5    INF    5    6    4    
d    5    INF    5    INF    INF    2    
e    INF    3    6    INF    INF    6    
f    INF    INF    4    2    6    INF    

采用普里姆算法求邻接矩阵存储的带权的无向网的最小生成树,所求最小生成树的边依次为:
a, c
c, f
f, d
c, b
b, e

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