内部排序->选择排序->堆排序

文字描述

　　堆排序中,待排序数据同样可以用完全二叉树表示, 完全二叉树的所有非终端结点的值均不大于(或小于)其左、右孩子结点的值。由此，若序列{k1, k2, …, kn}是堆，则堆顶元素(或完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值(或最大值)。

　　若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素中的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

　　由此，实现堆排序需要解决两个问题：(1)如何由一个无序序列建成一个堆？(2)如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

　　先讨论第(2)个问题，假设有个最大堆(堆顶元素为堆的最大值)输出堆顶元素之后， 以堆中最后一个元素代替之，此时根结点的左、右子树均为堆，则仅需自上至下进行调整即可。称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

       再讨论第(1)个问题，由一个无序序列建成堆的过程就是一个反复”筛选”的过程。若将此序列看成一个完全二叉树，则最后一个非终端结点是第[n/2]个元素，由此“筛选”只需从第[n/2]个元素开始。

示意图

算法分析

　　堆排序在树形选择排序上进行了改进, 和树形选择排序比, 堆排序可以减少辅助空间, 避免和”最大值”的冗余比较等优点.

　　堆排序在最坏情况下，其时间复杂度也为nlogn。相对于快速排序来说，这是堆排序的最大优点(快速排序最坏情况下时间复杂度为n*n, 但平均性能为nlogn)。

　　堆排序只需一个记录大小的辅助空间供交换用。

　　堆排序是一种不稳定的排序方法。

　　另外，堆排序方法对记录数较少的文件并不提倡使用， 但是对n较大的文件还是很有效的，因为其运行时间主要耗费在建立初始堆和调整新堆时的反复“筛选”上。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
/*
 * double log2(double x);    以2为底的对数
 * double ceil(double x);    取上整
 * double floor(double x);    取下整
 * double fabs(double x);    取绝对值
 */

#define DEBUG

#define EQ(a, b) ((a) == (b))
#define LT(a, b) ((a) <  (b))
#define LQ(a, b) ((a) <= (b))

#define MAXSIZE  100
#define INF         1000000
typedef int KeyType;
typedef char InfoType;
typedef struct{
    KeyType key;
    InfoType otherinfo;
}RedType;

typedef struct{
    RedType r[MAXSIZE+1];
    int length;
}SqList;

void PrintList(SqList L){
    int i = 0;
    printf("下标值：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        printf("[%d] ", i);
    }
    printf("
关键字：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        if(EQ(L.r[i].key, INF)){
            printf(" %-3c", '-');
        }else{
            printf(" %-3d", L.r[i].key);
        }
    }
    printf("
其他值：");
    for(i=0; i<=L.length; i++){
        printf(" %-3c", L.r[i].otherinfo);
    }
    printf("

");
    return ;
}

//堆采用顺序存储表示
typedef SqList HeapType;

/*
 *已知H->r[s,...,m]中记录的关键字除H->r[s].key之外均满足的定义
 *本汉书调整H-r[s]的关键字，使H->r[s,...,m]成为一个大顶堆(对其中
 *记录的关键字而言)
 */
void HeapAdjust(HeapType *H, int s, int m)
{
    RedType rc = H->r[s];
    int j = 0;
    //沿key较大的孩子结点向下筛选
    for(j=2*s; j<=m; j*=2){
        //j为key较大的纪录的下标
        if(j<m && LT(H->r[j].key, H->r[j+1].key))
            j+=1;
        //rc应该插入位置s上
        if(!LT(rc.key, H->r[j].key))
            break;
        H->r[s] = H->r[j];
        s = j;
    }
    //插入
    H->r[s] = rc;
}

/*
 * 对顺序表H进行堆排序
 */
void HeapSort(HeapType *H)
{
    int i = 0;
    //把H->r[1,...,H->length]建成大顶堆
    for(i=H->length/2; i>=1; i--){
        HeapAdjust(H, i, H->length);
    }
#ifdef DEBUG
    printf("由一个无序序列建成一个初始大顶堆：
");
    PrintList(*H);
#endif
    RedType tmp;
    for(i=H->length; i>1; i--){
        //将堆顶记录和当前未经排序子序列H->r[1,...,i]中最后一个记录相互交换
        tmp = H->r[1];
        H->r[1] = H->r[i];
        H->r[i] = tmp;
        //将H->r[1,...,i-1]重新调整为大顶堆
        HeapAdjust(H, 1, i-1);
#ifdef DEBUG
        printf("调整1至%d的元素，使其成为大顶堆：
", i-1);
        PrintList(*H);
#endif
    }
}

int  main(int argc, char *argv[])
{
    if(argc < 2){
        return -1;
    }
    HeapType H;
    int i = 0;
    for(i=1; i<argc; i++){
        if(i>MAXSIZE)
            break;
        H.r[i].key = atoi(argv[i]);
        H.r[i].otherinfo = 'a'+i-1;
    }
    H.length = (i-1);
    H.r[0].key = 0;
    H.r[0].otherinfo = '0';
    printf("输入数据:
");
    PrintList(H);
    //对顺序表H作堆排序
    HeapSort(&H);
    return 0;
}

运行