动态规划：01背包

有N件物品和一个容量为C的背包，第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]，求将若干件物品放入背包所能够获得的最大价值。

每种物品只有一件，可以选择放或者是不放

使用f(i,v)表示前i件物品恰好放入一个容量为v的背包所能获得的最大价值

状态转移方程：

f(i,v)=max{f(i-1,v),f(i-1,v-c[i])+w[i]}

时间复杂度为O(N*V),空间复杂度可以优化为O(V),即采用滚动数组的形式，与完全背包的实现相比较，这里是逆推，完全背包是正推

 f(v)=max{f(v),f(v-c[i])+w[i]}

首先我们给出第一个状态转移方程的实现：

int f[maxn][maxv];
int ans=0;
void dp()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=1;j<=V;j++)
    {
        if(v[i]<=j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        else
            f[i][j]=f[i-1][j];
    }
    ans=f[N][V];
}

可以看到循环变量是很好写的

接下来我们给出滚动数组形式转移方程的实现：

int f2[maxv];
void dp2()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=V;j>=0;j--)
    {
        if(v[i]<=j)
            f2[j]=max(f2[j],f2[j-v[i]]+w[i]);
    }   
    ans=f2[V];
} 

这种方法虽然省空间，但是中间结果都被覆盖掉了

最后我们给出一个完整的代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
const int maxv=1005;
int N,V;
int v[maxn],w[maxn];
int f[maxn][maxv];
int ans=0;
void dp()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=1;j<=V;j++)
    {
        if(v[i]<=j)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        else
            f[i][j]=f[i-1][j];
    }
    ans=f[N][V];
}
int f2[maxv];
void dp2()
{
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=V;j>=0;j--)
    {
        if(v[i]<=j)
            f2[j]=max(f2[j],f2[j-v[i]]+w[i]);
    }   
    ans=f2[V];
} 
int main()
{
    cin>>V>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    dp2();
    cout<<ans;
    return 0;
}