数据结构：树套树-树状数组套主席树

BZOJ1901

这就是所谓的支持修改的主席树，其实我不太认为这是一个树套树，外面的那层树不够显然

int n,m,top,tot,sz;
int v[10005],num[20005],A[10005],B[10005],K[10005],flag[10005],hash[20005],root[10005];
int sum[2200005],lch[2200005],rch[2200005];
int L[35],R[35],a,b;

这个题大概能看出来离线操作的一些端倪来

top是个游标来指示num数组的，num把题目中涉及到的值都存起来了，然后再用hash离散化处理

这里的离散化是因为主席树是一个完全二叉树，是对权值的建树，如果不把1,2,4,6,7变成1,2,3,4,5势必要浪费大量的空间

A,B,K和flag把所有的查询工作存起来了，这也是主席树的特性之一，如果是那种强制在线的题，只能常规树套树了

root是用来存每一个树状数组节点（C数组）所引出的主席树的根节点，sum，lch和rch应该是线段树家族的常客了

这里补充一下主席树的基本知识，首先对要进行操作的序列的前缀建权值树。每当询问[l, r]的时候，只要用[1, r]的树减去[1, l-1]的树,然后就可以查找第K小了
然后对每个前缀建树的时候，只需要新增Logn个点，连到前一个前缀所对应的线段树上，这样就仿佛建了n棵线段树一样
查询操作的话，我们只要找到对应这个区间的线段树，然后再去按照正常的主席树查询就可以了

其实查询操作就是正规的主席树查询而已，只不过我们把初始节点也执行了更新操作，这样原树为空，所有的东西就都依托于树状数组了

这里可以联想一下二维树状数组那里的，我可以维护原始数据的前缀和，只用树状数组维护delta，也可以索性全部update

如果是索性全部update的话，查询的时候就要先查树状数组找到若干树状数组节点，再查询这些节点对应的主席树了

int query(int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int i,suml=0,sumr=0;
    for(i=1;i<=a;i++) suml+=sum[lch[L[i]]];
    for(i=1;i<=b;i++) sumr+=sum[lch[R[i]]];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(sumr-suml>=k)
    {
        for(i=1;i<=a;i++) L[i]=lch[L[i]];
        for(i=1;i<=b;i++) R[i]=lch[R[i]];
        return query(l,mid,k);
    }
    else
    {
        for(i=1;i<=a;i++) L[i]=rch[L[i]];
        for(i=1;i<=b;i++) R[i]=rch[R[i]];
        return query(mid+1,r,k-(sumr-suml));
    }
}

最后查的结果是经过了离散化的，别忘了还原

更新操作就必须完全依赖树状数组了，更新都是先删再加，不管是删还是加，其根本的原理都是执行了一次insert，这样就会在原来的基础上多出logn个节点

这里我们就想到题目为啥要把所有的东西放在一起了，就是为了一块儿建树，更新的东西在查之前已经准备好了

再说说可持久化，可持久化是支持查询历史版本的，因为我的原始数据和更新数据都是一起建的，那么我更新之前和更新之后的东西，只要找到对应历史版本的树根查询就可以了

然后看一下更新操作：

void update(int last,int l,int r,int &rt,int w,int x)
{
    rt=++sz;
    sum[rt]=sum[last]+x;lch[rt]=lch[last];rch[rt]=rch[last];
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(w<=mid) update(lch[last],l,mid,lch[rt],w,x);
    else update(rch[last],mid+1,r,rch[rt],w,x);
}

纯粹的主席树update,只不过需要调用logn次，毕竟有logn个树状数组点嘛

如果我们把历史版本的root覆盖了，当然就是真的覆盖了，就像本题一样，因为题目也没问历史版本怎么怎么样了

总的来说，主席树这个东西，值得去细细研究一番

而且通过这个题，离散化的板子有啦，哈哈

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,top,tot,sz;
int v[10005],num[20005],A[10005],B[10005],K[10005],flag[10005],hash[20005],root[10005];
int sum[2200005],lch[2200005],rch[2200005];
int L[35],R[35],a,b;
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);    
}
int find(int x)
{
    int l=1,r=tot,mid;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(hash[mid]<x) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}
void update(int last,int l,int r,int &rt,int w,int x)
{
    rt=++sz;
    sum[rt]=sum[last]+x;lch[rt]=lch[last];rch[rt]=rch[last];
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(w<=mid) update(lch[last],l,mid,lch[rt],w,x);
    else update(rch[last],mid+1,r,rch[rt],w,x);
}
int query(int l,int r,int k)
{
    if(l==r) return l;
    int i,suml=0,sumr=0;
    for(i=1;i<=a;i++) suml+=sum[lch[L[i]]];
    for(i=1;i<=b;i++) sumr+=sum[lch[R[i]]];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(sumr-suml>=k)
    {
        for(i=1;i<=a;i++) L[i]=lch[L[i]];
        for(i=1;i<=b;i++) R[i]=lch[R[i]];
        return query(l,mid,k);
    }
    else
    {
        for(i=1;i<=a;i++) L[i]=rch[L[i]];
        for(i=1;i<=b;i++) R[i]=rch[R[i]];
        return query(mid+1,r,k-(sumr-suml));
    }
}
//Q i j k （i,j,k是数字，1≤i≤j≤n, 1≤k≤j-i+1）表示询问指令，询问a[i]，a[i+1]……a[j]中第k小的数
//C i t (1≤i≤n，0≤t≤10^9)表示把a[i]改变成为t
int main()
{
    char s[3];
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&v[i]);
        num[++top]=v[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        scanf("%d%d",&A[i],&B[i]);
        if(s[0]=='Q') {scanf("%d",&K[i]);flag[i]=1;}
        else num[++top]=B[i];
    }
    sort(num+1,num+top+1);
    hash[++tot]=num[1];
    for(int i=2;i<=top;i++)
    if(num[i]!=num[i-1])
        hash[++tot]=num[i];  //把查询离散化，相同的查询合并
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int t=find(v[i]);  //找到v[i]离散化之后的下标 
        for(int j=i;j<=n;j+=lowbit(j))
            update(root[j],1,tot,root[j],t,1);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(flag[i])
    {
        a=0;b=0;A[i]--;  //找到区间所对应的树状数组的根节点？ 
        for(int j=A[i];j>0;j-=lowbit(j))
            L[++a]=root[j];
        for(int j=B[i];j>0;j-=lowbit(j))
            R[++b]=root[j];
        printf("%d
",hash[query(1,tot,K[i])]); 
    }
    else
    {
        int t=find(v[A[i]]);
        for(int j=A[i];j<=n;j+=lowbit(j))
            update(root[j],1,tot,root[j],t,-1);
        v[A[i]]=B[i];
        t=find(B[i]);
        for(int j=A[i];j<=n;j+=lowbit(j))
            update(root[j],1,tot,root[j],t,1);
    }
    return 0;
}