数学：模线性方程

POJ2115：利用拓展欧几里德算法求解模线性方程

我可不可以理解为中国剩余定理中n=1的情况呢？

对于C的for(i=A ; i!=B ;i +=C)循环语句，问在k位存储系统中循环几次才会结束

若在有限次内结束，则输出循环次数

否则输出死循环

设对于某组数据要循环x次结束，那么本题就很容易得到方程：

x=[(B-A+2^k)%2^k] /C

即 Cx=(B-A)(mod 2^k)  此方程为 模线性方程，本题就是求X的值

令a=C  

  b=B-A 

  n=2^k

那么原模线性方程变形为：

 ax=b (mod n)

看到这里，如果b=1,这个方程的解就被称为乘法逆元，也就是之前博文中介绍的那个

该方程有解的充要条件为 gcd(a,n) | b ，即 b% gcd(a,n)==0

（乘法逆元中b=1，这是gcd(a,n)必须是1才可以，也就是a和n必须互质，这里是一般情况）

令d=gcd(a,n)

有该方程的 最小整数解为 x = e (mod n/d)

其中e = [x0 mod(n/d) + n/d] mod (n/d) ，x0为方程的最小解

那么原题就是要计算b% gcd(a,n)是否为0，若为0则计算最小整数解，否则输出FOREVER

一般我们都是求最小整数解，不是求通解，具体的形式在程序中体现

#include<cstdio>
// ax=b (mod n) 
long long  exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    //扩展欧几里得算法
    //返回a,b的最大公约数,ax+by=gcd(a,b)，x,y为方程的一组解
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return d;
}
long long solve(long long a,long long b,long long n)
{
    long long x,y,x0;
    long long d=exgcd(a,n,x,y);
    if(b%d) return -1;
    x0=(x*(b/d))%n;  //特解
    //for(int i=1;i<d;i++)
    //printf("%lld",x0+i*(n/d)%n); 
    //对于不定方程，显然x0+k*b/d,y0-k*a/d,k∈Z就是所有解 
    long long ans=x0,s=n/d;
    ans=(ans%s+s)%s;  //最小整数解 
    return ans; 
}
int main()
{
    long long A,B,C,k;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&C,&k)==4&&(A||B||C||k))
    {
        long long a=C;
        long long b=B-A;
        long long n=1LL<<k;
        long long ans=solve(a,b,n);
        if(ans==-1) printf("FOREVER
");
        else printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}