数学：莫比乌斯反演

首先介绍一下莫比乌斯函数的形式

1.    当d=1d=1时，μ(d)=1
2.    当d=p1*p2*p3*…*pk且pi为互异素数时，μ(d)=(−1)^k。(说直白点，就是d分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)
3.    只要当d含有任何质因子的幂次大于2，则函数值为0

在线性筛（欧拉筛法）的基础之上稍加修改就可以得到筛莫比乌斯函数的，函数

#include<cstdio>
const int maxn=105;
int cnt;
bool vis[maxn];
int mu[maxn],prim[maxn];
void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) {prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0) break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    get_mu(100);
    for(int i=1;i<=100;i++)
        printf("%d ",mu[i]);
    return 0;
}

 

还有其变式形式：

据说这种形式更加常用哦

BZOJ2301，它的题意是这样的，

对于给出的 n 个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足 a≤x≤b， c≤y≤d，且 gcd(x,y) = k，

gcd(x,y)函数为 x 和 y 的最大公约数

设calc(n,m)表示在1<=x<=n,1<=y<=m，满足gcd(x,y)是k的(x,y)的对数

那么当限定区间在（a,b）和（c,d）的时候，可以根据容斥原理确定出来

 calc(b,d)−calc(a−1,d)−calc(b,c−1)+calc(a−1,c−1)

那么对于求每一个calc(x,y)

首先要明确的是求gcd(x,y)=k就是求gcd(x/k,y/k)=1的解

然后设f(i)为gcd(x,y)=i时(x,y)的对数，F(i)表示满足i|gcd(x,y)的(x,y)的对数，显然F(i)=[n/i][m/i] 这里[]就是向下取整

F函数很容易求得，然后我们用莫比乌斯反演公式来求那个f函数就好了

然后在计算向下取整的时候，需要用到一个整除分块的东西提高效率

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50005;
int tot;
bool mark[maxn];
int sum[maxn],mu[maxn],pri[maxn];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(!mark[i]) {mu[i]=-1;pri[++tot]=i;}
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++)
        {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) {mu[i*pri[j]]=0;break;}
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=50000;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
int cal(int n,int m)
{
    if(n>m) swap(n,m);
    int ans=0,pos;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    int a,b,c,d,k;
    getmu();
    T=read();
    while(T--)
    {
        a=read();b=read();c=read();d=read();k=read();
        a--;c--;
        a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;
        int ans=cal(a,c)+cal(b,d)-cal(a,d)-cal(b,c);
        printf("%d
",ans);
}
    return 0;
}