P1880 [NOI1995]石子合并 区间dp

传送门

我发现上一阵子来我做事总是非常荒诞

我连一条链上的区间dp都没做 就去做环上的区间dp  唉 半小时才调过

那么这一题的大意就是

在一个环上有n个点

每一个点都对应有一个权值

每一次你可以把这个环上相邻的两个点合并起来 

合并起来消耗的代价就是两个点的权值之和

两个点合并之后就变成了一个点

问把所有的点合并成同一个点的最大花费和最小花费

那么这一道题首先肯定不能用贪心

如果使用贪心 必须是把不必相邻的两个点合并

这才能用贪心来做

那么这一道题是一个区间dp

区间dp就是我们在一条链上进行dp

枚举一个个区间的左端点和右端点

区间dp还要枚举一个k

是这个区间的中间的分割点

我们在进行状态转移的时候就是以这个k点为分割点

把k点左右的两个小区间进行合并处理

所以我们的状态转移方程就是

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])

那个sum是预处理出来的前缀和

这一道题难道就这么轻松地解决了吗

不是的

这一道题是在一个环上进行的操作

如果我们还想要用区间dp来求解这一道题 我们需要把环转化为链

有两种方式

第一种方式 也是比较好理解的 我们枚举从1-n从那个地方把这个环断开变成链

第二种方式 实现起来比较简单 就是我们把这个环n个点复制一遍加在后面

比如样例是4 5 9 4

我们就变成 4 5 9 4  4 5 9 4

这就是传说中的断环为链

我们这里采用的是第二种方式

我们来解释一下第二种方式是如何实现的

我们把最外层循环改成区间的长度

从2-n（毕竟1就没有什么意义了）枚举

第二层循环是l 也就是区间的左端点

从1-(2*n-len+1)

那么怎么确定右端点呢 其实还是非常显然的

r=l+len-1

第三层循环还是枚举k

这样子我们在进行dp的过程中 

这个区间有一些是跨过了第n个点的 到达了第n个点之后的位置

这样子其实就相当于把环转化为了链（仔细想一想啊 只可意会不可言传）

到最后的时候我们只需要把所有的长度为n的区间的值求一个最大或者最小就行了

具体看代码鸭（我太难了）

//P1880 [NOI1995]石子合并
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 305
using namespace std;
int a[maxn];
int f[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];
int main()
{
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]),a[i+n]=a[i],dp[i+n][i+n]=dp[i][i]=0;
    for(int i=1;i<=n*2;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            for(int k=i;k<j;k++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    int Max=-1,Min=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        Max=max(Max,f[i][i+n-1]),Min=min(Min,dp[i][i+n-1]);
    cout<<Min<<endl<<Max;
    
    return 0;
}