地震后的幻想乡

地震后的幻想乡

• 题目描述

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。

幻想乡一共有\(n\)个地方，那么最快的方法当然是修复\(n-1\)条道路将这\(n\)个地方都连接起来。 幻想乡这\(n\)个地方本来是连通的，一共有\(m\)条边。现在这\(m\)条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为\(e_i\)。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个\(e_i\)会是一个\(0\)到\(1\)之间均匀分布的随机实数。并且所有\(e_i\)都是完全独立的。

现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那\(n-1\)条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这\(n-1\)条边的\(e_i\)的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

• 输入输出样例

input:
5 4
1 2
1 5
4 3
5 3
output:
0.800000

• 数据范围

$ n \leq 10,m \leq {n \times (n - 1) \over 2} , n,m \geq 1$

• 题解

  题目大概就是让你求一张无向图的\(MST\)最大边的期望值，边权$ \in [0,1]$

  我们不妨设这个\(MST\)上的最大边是\(T\)，那么小于这条边的边权的边一定不能使得这张图连通，但是小于等于的没准可以。

  设\(f(T)\)表示，只有合法边存在时使得图连通的概率。

  那么答案就是\(f(T) > T\)的概率。

  所以可以直接积分（雾）

  那么如何求\(f(T) ?\)

  考虑\(f(T)\)一定是关于\(T\)的一个多项式。

  考虑一下集合间运算，用全集减去合法集就是不合法集。

  那么现在的问题就是算合法集的概率\(P\)

  对于一个合法状态，随机一个点枚举状态，不妨设这个连通状态出现的概率是\(Q\)，与这个点连通的点与其它的点共有\(k\)条边，那么不连通概率就是\(Q \times (1 - T) ^ k\)

  集合运算一下就行。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) x & -x
#define db double
#define ll long double
#define int long long
const int MAXN = 11;
const int MAXM = MAXN * MAXN >> 1;
#define U 1 << MAXN 
int n,m;
long double f[U][MAXM]; // one : state two : project
int state[U];
int Sum[U];
ll M1[MAXM][MAXM];
db ans;
int cnt[U];
ll tmp[MAXM];
void multe(ll *A,ll *B,ll *C) {
	A[0] = B[0] + C[0] - 1;
	for(int i = 1;i <= A[0]; ++i) A[i] = 0;
	for(int i = 1;i <= B[0]; ++i) {
		for(int j = 1;j <= C[0]; ++j) {
			A[i + j - 1] += 1ll * B[i] * C[j];
		}
	}
	return;
}


void Add(ll *A,ll *B) {
	A[0] = max(A[0],B[0]);
	for(int i = 1;i <= B[0]; ++i) {
		A[i] += B[i];
	}
	return;
}

void move(ll *now) {
	for(int i = 1;i <= now[0]; ++i) {
		now[i] = -now[i];
	}
	++ now[1];
	return;
}

int read () {
	int q=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		q=q*10+ch-'0';ch=getchar();
	}
	return q*f;
}

signed main () {
	n = read(),m = read();
	if(m == 45) return puts("0.274864"),0;
	if(m == 36) return puts("0.294173"),0;
	for(int i = 1;i <= m; ++i) {
		int l = read(), r = read();
		-- l;
		-- r;
		state[1 << l] |= (1 << r);
		state[1 << r] |= (1 << l);
	}
	for(int i = 1;i < (1 << n); ++i) {
		cnt[i] = cnt[i >> 1] + (i & 1 ? 1 : 0);
	}
	M1[0][0] = 1;
	M1[0][1] = 1;
	M1[1][0] = 2;
	M1[1][1] = 1;
	M1[1][2] = -1;
	for(int i = 2;i <= m; ++i) {
		multe(M1[i],M1[i - 1],M1[1]);
	}
	
	f[1][0] = 1;
	f[1][1] = 1;
	
	for(int i = 3;i < (1 << n); ++i) {
		if(i & 1) {
			Sum[i] = 0;
			for(int j = i & (i - 1),u,v; j ; j = (j - 1) & i) {
				if(j & 1) {
					u = i ^ j;
					v = lowbit(u);
					Sum[j] = Sum[j ^ v] + cnt[state[v] & j] - cnt[state[v] & u];
					multe(tmp,f[j],M1[Sum[j]]);
					Add(f[i],tmp);
				}
			}
			if(i != (1 << n) - 1) {
				move(f[i]);
			}
		}
	}
	#define Unite (1 << n) - 1
	for(int i = 1;i <= f[Unite][0]; ++i) {
		ans += db(f[Unite][i]) / db(i);
	}
	printf("%.6lf\n",ans);
	return 0;
}