【模板归纳】网络流及费用流

首先是网络流及最小费用最大流的两种最基础算法
这两种网络流算法的思想核心都是寻找增广路+沿增广路扩展新流
首先是Dinic 算法
使用bfs寻找增广路，记录增广路中节点层数，
而在dfs中沿着层数+1的方向不断递推
直到无法再找到新的增广路为止

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 105
#define next nico
int head[N],to[N*N*2],next[N*N*2],dis[N*N*2],tot=1,d[N],s=0,t,n,m;
void add(int x,int y, int z)
{
    to[++tot]=y;
    dis[tot]=z;
    next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
int bfs()
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    queue <int> q;
    d[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int x = q.front();
        q.pop();
        for(int i = head[x]; i; i = next[i])
        {
            int des = to[i];
            if(dis[i]&&!d[des])
            {
                d[des]=d[x]+1;
                q.push(des);
            }
        }
    }
    return d[t];
}
int dfs(int x,int v)
{
    if(x==t||v==0)return v;
    int ans = 0;
    for(int i = head[x]; i ; i = next[i])
    {
        int des = to[i];
        if(d[des]==d[x]+1)
        {
            int f = dfs(des,min(dis[i],v));
            v -= f;
            dis[i]-=f;
            dis[i^1]+=f;
            ans += f;
        }
    }
    return ans;
}
int dinic()
{
	int ans = 0;
	while(bfs())
	{
		ans +=dfs(s,0x7f7f7f7f);
	}
	return ans ;
}

接下来是最小费用最大流
存图时注意反向边的费用是正向边的相反数

同dinic算法的区别在于一次只有一条增广路，且这条增广路是费用最短路
可以使用spfa来寻找增广路
然而

众所周知 spfa 它死了

所以我采用了dijkstra
但是dijkstra不能处理负边权，怎么办？
一种方法是每条边权加上一个足够大的数最后再减去
但是有着溢出的风险！
另一种方法
我们采用数组h[i]表示上一次增广路时的最短路
w[i][j]表示连接i,j边的权值
那么有h[i]+w[i][j]>=h[j]
所以h[i]-h[j]+w[i][j]>=0
记保存当前最短路的数组为f[i]
而我们可以证明最后求出的最短路长度即为f[i]-h[i]
最后为了维护h
只需要每个h[i]+=f[i]
代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 5003
#define next nico
using namespace std;
int head[N],to[N*20],v[N*20],cost[N*20],from[N],flow[N],next[N*20],f[N],path[N],tot=1,h[N],n,m;
int sumflow,sumcost;
int s,t;
void add(int x,int y,int a,int b)
{
    to[++tot]=y;
    cost[tot]=a;
    v[tot]=b;
    next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
struct dat
{
    int val,p;
    bool operator < (const dat &b )const
    {
        return val > b.val;
    }
}buf;
int dijkstra()
{
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    memset(flow,0x7f,sizeof(flow));
    memset(from,0,sizeof(from));
    memset(path,0,sizeof(path));
    int inf = f[0];
    f[s]=0;
    priority_queue <dat> p;
    p.push(dat{0,s});
    while(!p.empty())
    {
        dat t = p.top();
        p.pop(); 
        int x = t.p;
        if(t.val==f[x])
        for(int i = head[t.p];i;i=next[i])
        { 
            int des = to[i];
            if(v[i]&&f[x]+cost[i]+h[x]-h[des]<f[des])
            {
                f[des]=f[x]+cost[i]-h[des]+h[x];
                flow[des]=min(flow[x],v[i]);
                from[des]=x;
                path[des]=i;
                p.push(dat{f[des],des});
            }
        }
    }
    return f[t]!=inf;
}
void mcmf()
{
    while(dijkstra())
    {
        sumflow+=flow[t];
        sumcost+=flow[t]*(f[t]+h[t]);
        for(int i = t; i != s; i = from[i])
        {
            v[path[i]]-=flow[t];
            v[path[i]^1]+=flow[t];
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            h[i]+=f[i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i = 1; i <= m ; i ++)
    {
        int a,b,c,d;
        scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
        add(a,b,d,c);
        add(b,a,-d,0);
    }
    mcmf();
    printf("%d %d",sumflow,sumcost);
}