背包问题泛指以下这一种问题：
给定一组有固定价值和固定重量的物品，以及一个已知最大承重量的背包，求在不超过背包最大承重量的前提下，能放进背包里面的物品的最大总价值。
这一类问题是典型的使用动态规划解决的问题，我们可以把背包问题分成3种不同的子问题：0-1背包问题、完全背包和多重背包问题。下面对这三种问题分别进行讨论。
一、0-1背包
0-1背包问题是指每一种物品都只有一件，可以选择放或者不放。现在假设有n件物品，背包承重为m。
对于这种问题，我们可以采用一个二维数组去解决：f[i][j]，其中i代表加入背包的是前i件物品，j表示背包的承重，f[i][j]表示当前状态下能放进背包里面的物品的最大总价值。那么，f[n][m]就是我们的最终结果了。
采用动态规划，必须要知道初始状态和状态转移方程。初始状态很容易就能知道，那么状态转移方程如何求呢？对于一件物品，我们有放进或者不放进背包两种选择：
（1）假如我们放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]，这里的f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]应该这么理解：在没放这件物品之前的状态值加上要放进去这件物品的价值。而对于f[i - 1][j - weight[i]]这部分，i - 1很容易理解，关键是 j - weight[i]这里，我们要明白：要把这件物品放进背包，就得在背包里面预留这一部分空间。
（2）假如我们不放进背包，f[i][j] = f[i - 1][j]，这个很容易理解。
因此，我们的状态转移方程就是：f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
当然，还有一种特殊的情况，就是背包放不下当前这一件物品，这种情况下f[i][j] = f[i - 1][j]。这种场景可以用来初始化f[i][j]。
下面是实现的代码：
#include <iostream>
using namespace std;
#define V 500
#define N 20
int weight[N + 1];
int value[N + 1];
int f[N + 1][V + 1];
int main()
{
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> weight[i] >> value[i];
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (weight[i] > j)
{
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 初始化，假定背包放不下当前这一件物品
}
else
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[n][m] << endl;
return 0;
}
应用例子：采药
山洞里有三株不同的草药，采第一株需要71分钟，采第二株需要69分钟，采第三株需要1分钟。第一株的价值为100，第二株的价值为1，第三侏的价值为2。给你70分钟的时间，你可以让采到的草药的最大的总价值是多少？
分析：
这就是一个0-1背包问题，总时间70分钟相当于背包的承重能力，采每株草药的时间相当于每个物品的重量。
直接运行上面的程序，可得到结果：
请输入物品个数:3
请分别输入3个物品的重量和价值:
71 100
69 1
1 2
请输入背包容量:70
背包能放的最大价值为:3
代码分析：
用i表示当前采了几种草药，j表示用了多少时间
（1）i = 1表示要采第一株草药。
第一株草药weight[1] = 71，价值value[1] = 100。
j = 1时，f[1][1] = f[0][1] = 0
j = 2时，f[1][2] = f[0][2] = 0
j = 3时，f[1][3] = f[0][3] = 0
……
j = 70时，f[1][70] = f[0][70] = 0
（2）i = 2表示要采前两株草药。
第二株草药weight[2] = 69，value[2] = 1。
j = 1时，f[2][1] = f[1][1] = 0
j = 2时，f[2][2] = f[1][2] = 0
j = 3时，f[2][3] = f[1][3] = 0
……
j = 68时，f[2][68] = f[1][68] = 0
j = 69时，j >= weight[i], f[2][69] = max(f[1][69], f[1][0] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。max函数中的第一个参数f[1][69]表示采第一株草药用掉全部69单位的时间能获取到的价值，因为第一株草药需要71单位的时间，所以f[1][69]得到的价值为0；第二个参数f[1][0] + value[2]表示采第一株草药用了0单位时间，价值为0，把剩余的69的时间全用在采第二株草药上，得到的价值为1。
j = 70时，j >= weight[i], f[2][70] = max(f[1][70], f[1][1] + value[2] = max(0, 0 + 1) = 1。max函数中的第一个参数f[1][70]表示采第一株草药用掉全部70单位的时间能获取到的价值，因为第一株草药需要71单位的时间，所以f[1][70]得到的价值为0；第二个参数f[1][1] + value[2]表示采第一株草药用了1单位时间，因为采第一草药需要71单位的时间，所以1单位时间不够采第一株草药，得到的价值为0，把剩余的69的时间全用在采第二株草药上，得到的价值为1。
（3）i = 3表示要采前三株草药。
第三株草药weight[3] = 1，value[3] = 2。
j = 1时，j >= weight[i], f[3][1] = max(f[2][1], f[2][0] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2，max中的第一个参数表示把这1单位的时间用来采前两株草药，第二个参数表示用前0秒的时间采前两株草药，用剩余1单位的时间采第三株草药。
j = 2时，j >= weight[i], f[3][2] = max(f[2][2], f[2][1] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2
j = 3时，j >= weight[i], f[3][3] = max(f[2][3], f[2][2] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2
……
j = 68时，j >= weight[i], f[3][68] = max(f[2][68], f[2][67] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2
j = 69时，j >= weight[i], f[3][69] = max(f[2][69], f[2][68] + value[3]) = max(1, 0 + 2) = 2。max函数的第一个参数f[2][69]表示把69单位的时间用在采前两株草药，事实上只能采到第二株草药，价值为1。第二个参数中的f[2][68]表示前68单位的时间用来采前两株草药，无法采到草药，价值为0；value[3]表示把最后一秒的时间用来采第三株草药，得到的价值为2。
j = 70时，j >= weight[i], f[3][70] = max(f[2][70], f[2][69] + value[3]) = max(1, 1 + 2) = 2 =3。max函数的第一个参数f[2][70]表示把70单位的时间用在采前两株草药，事实上只能采到第二株草药，价值为1。第二个参数中的f[2][69]表示前69单位的时间用来采前两株草药，可以采到第二株草药，价值为1；value[3]表示把最后一秒的时间用来采第三株草药，得到的价值为2，二者加起来即总价值为3。
0-1背包问题还有一种更加节省空间的方法，那就是采用一维数组去解决，下面是代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define V 500
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int main()
{
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> weight[i] >> value[i];
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= 1; j--)
{
if (weight[i] <= j)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
return 0;
}
代码分析：
1 仍以采草药的例子为例，总时间m = 70，草药数量n = 3。
（1）i = 1, weight[1] = 71
j = 70, weight[1] <= j为假。
j = 69, weight[1] <= j为假。
……
j = 2, weight[1] <= j为假。
j = 1, weight[1] <= j为假。
（2）i = 2, weight[2] = 69
j = 70, weight[2] <= j为真，f[70] = max(f[70], f[1] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。max函数中的第一个参数f[70]表示70分钟的时间用来采第一株草药。第二个参数f[1] + value[2]表示把前1分钟的时间用来采第一株草药，把剩下的69分钟时间用来采第二株草药。
j = 69, weight[2] <= j为真，f[69] = max(f[69], f[0] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。f[0] + value[2]表示把前0分钟的时间用来采第一株草药，把剩下的69分钟用来采第二株草药。
j = 68, weight[2] <= j为假。
……
j = 1, weight[2] <= j为假。
（3）i = 3, weight[3] = 1
j = 70, weight[3] <= j为真，f[70] = max(f[70], f[69] + value[3]) = max(1, 1 + 2) = 3。max函数中的第一个参数f[70]，根据i=2中的f[70]可知是表示前1分钟的时间用来采第一株草药后69分钟的时间用来采第二株草药。第二个参数f[69] + value[3]表示前69分钟的时间用来采前两株草药（具体是前0分钟的时间采第一株后69分钟的时间采第二株），最后一秒用来采第三株。
j = 69, weight[3] <= j为真，f[69] = max(f[69], f[68] + value[3]) = max(1, 0 + 2) = 2。max函数中的第一个参数f[69]表示这69分钟的时间用来采前两株草药的最大价值，根据i=2中的f[69]可知具体是前0分钟的时间用来采第一株草药后69分钟的时间用来采第二株草药。第二个参数f[68] + value[3]表示前68分钟的时间用来采前两株草药，最后一秒用来采第三株。
……
j = 2, weight[3] <= j为真，f[2] = max(f[2], f[1] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2。max函数中的第一个参数f[2]表示前个分钟的时间用来采前两株草药。第二个参数f[1] + value[3]表示前1分钟的时间用来采前两株草药，最后一秒用来采第三株。
j = 1, weight[3] <= j为真，f[1] = max(f[1], f[0] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2。max函数中的第一个参数f[1]表示前一分钟的时间用来采前两株。第二个参数f[0] + value[3]表示前0分钟的时间用来采前两株，剩余1分钟用来采第三株。
（4）最后，f[m] = f[70]即是所求的答案。
2 第二个for循环里面，j为什么要从大到小枚举，而不是从小到大枚举？
假如j是从小到大枚举，则代码为：
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
if (weight[i] <= j)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
i = 2，j = 69时，f[69] = max(f[69], f[0] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。
i = 2，j = 70时，f[70] = max(f[70], f[1] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。
i = 3，j = 1时，f[1] = max(f[1], f[0] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2。max函数中的第一个参数f[1]表示这1分钟的时间用来采前两株草药，f[0] + value[3]表示前0分钟的时间用来采前两株草药，剩余1分钟的时间用来采第三株草药。
i = 3，j = 2时，f[2] = max(f[2], f[1] + value[3]) = max(0, 2 + 2) = 4。max函数中的第一个参数f[2]表示这2分钟的时间都用来采前两株草药。第二个参数f[1] + value[3]，f[1]根据上一步i = 3, j = 1的情景可知 是前0分钟采前两株，剩余1分钟采第三株，value[3]表示第2分钟采第三株。注意这里第三株草药在第1分钟的时间里采了一次，第2分钟又采了一次，采重复了，所以出错。
可以把下一段代码
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= 1; j--)
{
if (weight[i] <= j)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
进一步简化为：
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = m; j >= weight[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
二、完全背包
完全背包和01背包十分相像， 区别就是完全背包中的每种物品有无限件。由之前的选或者不选转变成了选或者不选、选的话要选几件。下面给出实现代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define V 500
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int main()
{
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> weight[i] >> value[i];
}
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = weight[i]; j <= m; j++)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
return 0;
}
仍以上面的采草药为例，运行结果为：
请输入物品个数:3
请分别输入3个物品的重量和价值:
71 100
69 1
1 2
请输入背包容量:70
背包能放的最大价值为:140
分析：
1 完全背包的代码与0-1背包的代码只有一行区别。完全背包中的j是从小到大按顺序枚举的，而0-1背包中的j是从大到小逆序枚举的。
2 程序执行过程
（1）i = 1时，j = weight[i] = 71, j <= m为假，循环不执行。
（2）i = 2时，weight[2] = 69，value[2] = 1
j = 69, f[69] = max(f[69], f[0] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。max中的第一个参数f[69]表示把69分钟的时间用于第一株草药，价值是0。第二个参数中的f[0]表示前0分钟采到到草药的总价值，value[2]表示剩下的69分钟用于采第2株草药。
j = 70, f[70] = max(f[70], f[1] + value[2]) = max(0, 0 + 1) = 1。max中的第一个参数f[70]表示把70分钟的时间用于第一株草药，价值是0。第二个参数中的f[1]表示前1分钟采到到草药的总价值，value[2]表示剩下的69分钟用于采第2株草药。
（3）i = 3时，weight[3] = 1, value[3] = 2
j = 1, f[1] = max(f[1], f[0] + value[3]) = max(0, 0 + 2) = 2。max中的第一个参数f[1]表示把1分钟的时间用于采前两株草药，价值是0。第二个参数中的f[0]表示前0分钟采到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
j = 2, f[2] = max(f[2], f[1] + value[3]) = max(0, 2 + 2) = 4。max中的第一个参数f[2]表示把2分钟的时间用于采前两株草药，价值是0。第二个参数中的f[1]表示前1分钟采到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
j = 3, f[3] = max(f[3], f[2] + value[3]) = max(0, 4 + 2) = 6。max中的第一个参数f[3]表示把3分钟的时间用于采前两株草药，价值是0。第二个参数中的f[2]表示前2分钟采到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
……
j = 68, f[68] = max(f[68], f[67] + value[3]) = max(0, 134 + 2) = 136。max中的第一个参数f[68]表示把68分钟的时间用于采前两株草药，价值是0。第二个参数中的f[67]表示前67分钟采到到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
j = 69, f[69] = max(f[69], f[68] + value[3]) = max(1, 136 + 2) = 138。max中的第一个参数f[69]表示把69分钟的时间用于采前两株草药，价值是1。第二个参数中的f[68]表示前68分钟采到到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
j = 70, f[70] = max(f[70], f[69] + value[3]) = max(1, 138 + 2) = 140。max中的第一个参数f[70]表示把70分钟的时间用于采前两株草药，价值是1。第二个参数中的f[69]表示前69分钟采到草药的总价值，value[3]表示剩下的1分钟用于采第3株草药。
三、多重背包
多重背包问题限定了一种物品的个数，解决多重背包问题，只需要把它转化为0-1背包问题即可。比如，有2件价值为5，重量为2的同一物品，我们就可以分为物品a和物品b，a和b的价值都为5，重量都为2，但我们把它们视作不同的物品。
实现代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int main()
{
int n, m;
cout << "请输入物品个数:";
cin >> n;
cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量、价值和数量:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
}
int k = n + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
while (num[i] != 1)
{
weight[k] = weight[i];
value[k] = value[i];
k++;
num[i]--;
}
}
k--;
cout << "请输入背包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= k; i++)
{
for (int j = m; j >= weight[i]; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
return 0;
}
仍旧以采草药为例，运行结果：
请输入物品个数:3
请分别输入3个物品的重量、价值和数量:
71 100 2
69 1 2
1 2 2
请输入背包容量:70
背包能放的最大价值为:4
分析：
（1）第二个for的作用是将同样的物品进行拆分。
weight[4] = weight[1]; value[4] = value[1];
weight[5] = weight[2]; value[5] = value[2];
weight[6] = weight[3]; value[6] = value[3];
（2）最终拆分后的物品总数量k = 6。