欢迎指出其中的错误和交流。
关于堆排序的具体介绍和C代码实现见该链接。
算导关于堆排序的练习主要是一些证明，可以帮助理解堆的特征。部分练习是图示过程，这些练习认真用笔过一次会很有收获。
1.在高度为h的堆中，最多和最少的元素个数是多少？
最多：底层全满；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h，等比数列求和得2^(h+1) - 1
最少：底层只有一个节点；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1，等比数列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h
2.证明：含n个元素的堆的高度为floor(lgn)
假设n个元素的堆的高度为h。由上题得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1，因此h <= lgn < h+1。
根据floor 和 ceiling 函数的性质
见维基
得h = floor(lgn)
3.证明：在一个最大堆的某棵子树中，最大元素在该子树的根上。（看了答案才知道用反证法，居然想不到反证法，离散数学白看了。。。。。）
假设这个命题为错误的，存在一棵子树的最大元素不在该子树的根，最大元素的下标为m。
则下标为m的节点的值比其父节点的值大，但是最大堆的特性为某个节点的值最多和其父节点的值一样大，矛盾，因此假设为错误，命题正确。
4.证明：当用数组表示存储了m个元素的堆时，叶节点的下标是floor(n/2)+1, floor(n/2)+2,...n
刚开始打算通过公式证明最有一个叶节点的父节点为floor(n/2)，最后没能成功（数学太渣）。。。
根据二叉堆的性质：某节点下标为i（非根节点），其父节点的下标为floor(i/2)，因此最后一个叶节点的父节点的下标为floor(n/2)，所以从下标floor(n/2)+1开始到n都是叶节点。
5.写出最小堆中维持最小堆性质的操作（本来要求写伪代码）
1 void min_heapify(int A[], int length, int i){ 2 int l = 2 * i; 3 int r = 2 * i + 1; 4 int smallest; 5 6 if(l <= length && A[l] < A[i]) 7 smallest = l; 8 else 9 smallest = i; 10 if(r <= length && A[r] < A[smallest]) 11 smallest = r; 12 13 if(smallest != i){ 14 int temp = A[smallest]; 15 A[smallest] = A[i]; 16 A[i] = temp; 17 min_heapify(A, length, smallest); 18 } 19 }
6.将max_heapify()函数的递归调用改为迭代结构，使效率提高。
1 void max_heapify(int A[], int length, int i){ 2 int l, r; 3 int largest, temp; 4 while(i <= length){ 5 l = 2 * i; 6 r = 2 * i + 1; 7 8 if(l <= length && A[l] > A[i]) 9 largest = l; 10 else 11 largest = i; 12 if(r <= length && A[r] > A[largest]) 13 largest = r; 14 15 if(largest != i){ 16 temp = A[largest]; 17 A[largest] = A[i]; 18 A[i] = temp; 19 i = largest; 20 } 21 else 22 break; 23 } 24 }
7.证明：对于一个大小为n的堆，max_heapify的最坏运行时间为Ω(lgn)。（提示：对于n个节点的堆，恰当地设置每个节点的值，使得从根节点到叶节点的路径上的每个节点都递归调用max_heapify）。
假设大小为n的堆的高度为h
首先如何使得从根节点到叶节点的路径上的每个节点都递归调用max_heapify？每次调用后的子树都符合子树的根节点小于左右儿子节点，则最初的根节点的值比所有左右儿子的值都小。接着要考虑的就是路径-----如何使得从根节点到叶节点的路径更长（最坏的情况）？“堆数据结构是一种数组对象，可以视为一棵完全二叉树。树的每一层都是填满的，最后一层除外（最后一层从一个节点的左子树开始填）”------《算导》原文。因此每次根节点与其左儿子节点交换，路径会是最长的，则所有左子树的值大于或等于右子树。这样设置，max_heapify会调用h次，所以运行时间为Θ(h)，即Θ(lgn)。根据大Θ符号的定义（链接为维基），详细见算导第三章----函数的增长，因此的得最坏运行时间为Ω(lgn)。
8.证明：在任一含n个元素的堆中，最多有ceiling(n / 2^(h+1))个高度为h的节点。
证明为算导的答案：（答案很详细）
9.对于一个其所有n个元素已按递增序排列的数组A，堆排序的运行时间是多少？若A的元素呈降序呢？
递增序排列和递减序（降序）一样：先建堆，运行时间为O(n)，然后将数组最后一个与第一个交换，数组大小减一，在进行max_heapify（维持最大堆的性质），依次重复操作（O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)）
因此运行时间为O(n) * O(lgn) = O(n*lgn)
10.证明：堆排序的最坏情况运行时间为Ω(n*lgn)。
堆排序属于比较排序，比较排序的最坏情况运行时间的下界为Ω(n*lgn)，见算导第八章第一节。
11.证明：在所有元素都不相同时，堆排序的最佳运行时间为Ω(n*lgn)。
无论数组是否已排序，都要调用n - 1次max_heapify函数，可以得最佳运行时间为Ω(n*lgn)。