二叉搜索树

摘要：

　　本章介绍了二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质，如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值，如何找出某一个元素的前驱和后继，如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比，一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn)，从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、二叉查找树

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示：

书中给出了一个定理：如果x是一棵包含n个结点的子树的根，则其中根遍历运行时间为θ(n)。

问题：二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别？能否利用最小堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？

2、查询二叉查找树

　　二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进行了详细的讲解。

（1）查找SEARCH

　　在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似，根据二叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：首先是关键字k与树根的关键字进行比较，如果k大比根的关键字大，则在根的右子树中查找，否则在根的左子树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右子树中做出选择，减少一半的工作量）

书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码：

TREE_SEARCH(x,k)
  if x=NULL or k=key[x]
      then return x
  if(k<key[x])
      then return TREE_SEARCH(left[x],k)
   else
      then return TREE_SEARCH(right[x],k)

非递归

ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)
  while x!=NULL and k!=key[x]
      do if k<key[x]
              then x=left[x]
           else
              then x=right[x]
   return x

（2）查找最大关键字和最小关键字

　　根据二叉查找树的特征，很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字：从根结点开始，沿着各个节点的left指针查找下去，直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树，则以x为根的子树中，最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字：从根结点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码：

查找最小关键字

TREE_MINMUM(x)
    while left[x] != NULL
       do x=left[x]
    return x

查找最大关键字

TREE_MAXMUM(x)
    while right[x] != NULL
         do x= right[x]
     return x

（3）前驱和后继

　　给定一个二叉查找树中的结点，找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同，则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点，后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质，不用对关键字做任何比较，就可以找到某个结点的前驱和后继。

　　查找前驱步骤：先判断x是否有左子树，如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点，即是x的前驱。如果没有左子树，则从x继续向上执行此操作，直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程：

　　查找后继步骤：先判断x是否有右子树，如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点，即使x的后继。如果没有右子树，则从x的父节点开始向上查找，直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程：

书中给出了求x结点后继结点的伪代码:

TREE_PROCESSOR(x)
    if right[x] != NULL
        then return TREE_MINMUM(right(x))
    y=parent[x]
    while y!= NULL and x ==right[y]
           do x = y
               y=parent[y]
    return y

定理：对一棵高度为h的二叉查找，动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。

3、插入和删除

　　插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。

（1）插入

　　插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：

书中给出了插入过程的伪代码：

TREE_INSERT(T,z)
    y = NULL;
    x =root[T]
    while x != NULL
        do y =x
            if key[z] < key[x]
                 then x=left[x]
                 else  x=right[x]
     parent[z] =y
     if y=NULL
        then root[T] =z
        else if key[z]>key[y]
                   then  keft[y]  = z
                   else   right[y] =z

插入过程运行时间为O(h)，h为树的高度。

（2）删除

　　从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：

<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：

<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：

<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。

书中给出了删除过程的伪代码：

TREE_DELETE(T,z)
    if left[z] ==NULL or right[z] == NULL
       then y=z
       else  y=TREE_SUCCESSOR(z)
   if left[y] != NULL
       then x=left[y]
       else  x=right[y]
   if x!= NULL
       then parent[x] = parent[y]
   if p[y] ==NULL
      then root[T] =x
      else if y = left[[prarnt[y]]
                  then left[parent[y]] = x
                  else  right[parent[y]] =x
    if y!=z
        then key[z] = key[y]
              copy y's data into z
     return y

定理：对高度为h的二叉查找树，动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。

4、实现测试

　　采用C++语言实现一个简单的二叉查找树，支持动态集合的基本操作：search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cstdlib>
using namespace std;

typedef struct BinarySearchTreeNode
{
    int elem;
    struct BinarySearchTreeNode *parent;
    struct BinarySearchTreeNode *left;
    struct BinarySearchTreeNode *right;
}BinarySearchTreeNode,*BinarySearchTree;

//初始化二叉树
void init_binary_tree(BinarySearchTree *root)
{
    *root=NULL;
}

//非递归
void TreeInsert(BinarySearchTree *root,int z)
{
    BinarySearchTree y=NULL,x;
    if(*root==NULL)
    {
        *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
        (*root)->elem=z;
        (*root)->left=(*root)->right=NULL;
        (*root)->parent=NULL;
        return;
    }
    x=*root;
    while(x)
    {
        //y用来记录父节点
        y=x;
        if(z<x->elem)
            x=x->left;
        else
            x=x->right;
    }
     BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
     p->elem=z;
     p->parent=y;
     p->left=p->right=NULL;
     if(z<y->elem)
        y->left=p;
     else
        y->right=p;
}
//递归
void tree_insert(BinarySearchTree *root,int z)
{
    if(*root==NULL)
    {
        *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
        (*root)->elem=z;
        (*root)->left=(*root)->right=(*root)->parent=NULL;
        return;
    }
    if((*root)->left==NULL&&z<(*root)->elem)
    {
        BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
        p->elem=z;
        p->left=p->right=NULL;
        p->parent=*root;
        (*root)->left=p;
        return;
    }
    if((*root)->right==NULL&&z>(*root)->elem)
    {
        BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode));
        p->elem=z;
        p->left=p->right=NULL;
        p->parent=*root;
        (*root)->right=p;
        return;
    }
    if(z<(*root)->elem)
        TreeInsert(&((*root)->left),z);
    else
        TreeInsert(&((*root)->right),z);
}

void CreateBSTree(BinarySearchTree *root,int length)
{
    cout<<"create BST tree:"<<endl;
    for(int i=0;i<length;i++)
    {
        int key;
        cin>>key;
        tree_insert(root,key);
    }
}
//递归
void inorder_tree_walk(BinarySearchTree root)
{
    if(root)
    {
        inorder_tree_walk(root->left);
        cout<<root->elem<<" ";
        inorder_tree_walk(root->right);
    }
}
//非递归中序遍历
void inoder(BinarySearchTree root)
{
    stack<BinarySearchTree> s;
    while(root||!s.empty())
    {
        if(root)
        {
            s.push(root);
            root=root->left;
        }
        else
        {
            BinarySearchTree tmpnode=s.top();
            cout<<tmpnode->elem<<" ";
            s.pop();
            root=root->right;
        }
    }
}
//递归查找
BinarySearchTree tree_search(BinarySearchTree root,int key)
{
    if(root==NULL||root->elem==key)
        return root;
    if(key<root->elem)
        return tree_search(root->left,key);
    else
        return tree_search(root->right,key);
}

//非递归查找
BinarySearchTree TreeSearch(BinarySearchTree root,int key)
{
    if(root==NULL||root->elem==key)
        return root;
    while(root&&root->elem!=key)
    {
        if(key<root->elem)
        {
            root=root->left;
        }
        else
            root=root->right;
    }
    return root;
}

//非递归查找最小值
BinarySearchTree TreeMinimum(BinarySearchTree root)
{
    if(root==NULL||!root->left)
        return root;
    while(root->left)
        root=root->left;
    return root;
}

//非递归查找最大值
BinarySearchTree TreeMaximum(BinarySearchTree root)
{
    if(root==NULL||root->left)
        return root;
    while(root->right)
        root=root->right;
    return root;
}

//找后继
BinarySearchTree TreeSuccessor(BinarySearchTree x)
{
    if(x->right)
        return TreeMinimum(x->right);
    BinarySearchTree parent;
    parent=x->parent;
    while(parent&&parent->right==x)
    {
        x=parent;
        parent=parent->parent;
    }
    return parent;
}

//找前驱
BinarySearchTree TreePredecessor(BinarySearchTree x)
{
    if(x->left)
        return TreeMaximum(x->left);
    BinarySearchTree parent;
    parent=x->parent;
    while(parent&&x==parent->left)
    {
        x=parent;
        parent=parent->parent;
    }
    return parent;
}

//删除
int TreeDelete(BinarySearchTree *root,int z)
{
    BinarySearchTree pnode,snode;
    pnode=TreeSearch(*root,z);
    if(pnode!=NULL)
    {
        BinarySearchTree parentnode=pnode->parent;
        if(pnode->left==NULL||pnode->right==NULL)
        {
            if(pnode->left)
            {
                if(parentnode->left==pnode)
                    parentnode->left=pnode->left;
                else
                    parentnode->right=pnode->left;
                pnode->left->parent=parentnode;
            }
            else if(pnode->right)
            {
                if(parentnode->left==pnode)
                    parentnode->left=pnode->right;
                else
                    parentnode->right=pnode->right;
                pnode->right->parent=parentnode;
            }
            else
            {
                if(parentnode->left==pnode)
                    parentnode->left=NULL;
                else
                    parentnode->right=NULL;
            }
            free(pnode);
        }
        else
        {
            snode=TreeSuccessor(pnode);
            pnode->elem=snode->elem;
            if(snode==snode->parent->left)
            {
                snode->parent->left=snode->right;
                snode->right->parent=snode->parent;
                cout<<"delete left:"<<endl;
                cout<<snode->right->parent->elem<<endl;
            }
            if(snode==snode->parent->right)
            {
                snode->parent->right=snode->right;
                snode->right->parent=snode->parent;
                cout<<"delete right:"<<endl;
                cout<<snode->right->parent->elem<<endl;
            }
            free(snode);
        }
        return(0);
    }
    return(1);
}

int main()
{
    BinarySearchTree root;
    init_binary_tree(&root);
    CreateBSTree(&root,10);
    cout<<"中序遍历：";
    inorder_tree_walk(root);
    cout<<endl;
    cout<<"delete node:"<<endl;
    TreeDelete(&root,4);
    cout<<endl;
    inorder_tree_walk(root);
}

5、随机构造二叉查找树

　　二叉查找上各种基本操作的运行时间都是O(h)，h为树的高度。但是在元素插入和删除过程中，树的高度会发生改变。如果n个元素按照严格增长的顺序插入，那个构造出的二叉查找树的高度为n-1。例如按照先后顺序插入7、15、18、20、34、46、59元素构造二叉查找树，二叉查找树结构如下所示：