AVL平衡二叉树

查找——平衡二叉树（AVL）

排序二叉树对于我们寻找无序序列中的元素的效率有了大大的提高。查找的最差情况是树的高度。这里就有问题了，将无序数列转化为

二叉排序树的时候，树的结构是非常依赖无序序列的顺序，这样会出现极端的情况。

【如图1】：

　　这样的一颗二叉排序树就是一颗比较极端的情况。我们在查找时候，效率依赖树的高度，所以不希望这样极端情况出现，而是希望元素比较均匀

的分布在根节点两端。

技术参考：fun4257.com/

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问题提出：

　　能不能有一种方法，使得我们的二叉排序树不依赖无序序列的顺序，也能使得我们得到的二叉排序树是比较均匀的分布。

引入：

　　平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），是一种特殊的二叉排序树，其中每一个结点的

左子树和右子树的高度差至多等于1.

　　这里的平衡从名字中可以看出，Height-Balanced是高度平衡。

　　它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1.

　　若将二叉树上的结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只

可能是-1、0、1。否则就不是平衡二叉树。

　　上图图1中，就不是平衡二叉树。

　　以图1来看看各个结点的平衡因子。

【如下图2】：

---

 技术参考：fun1404.com

如何构成平衡二叉树？

从转化为平衡二叉树的过程中可以提炼出转化的几个基本情况：

下图是在维基百科上摘录的：

 

可以看出调整的操作分两大类，前两个是一组，后两个是一组，每组之间是对称的。

前两个是对应上图1 2 中情况，

后两个是对应上图5 6 中情况。

分别以其中一种旋转为例，另一种对应的旋转对称。

单次左旋：对应上图1（左左）中情况

简单左右旋转代码：（只有一次）

 void rotateL(pBinTree *p)//左旋转  
 {  
     pBinTree r;  
     r = (*p)->rchd; //r 为新的根
     (*p)->rchd = r->lchd;  
     r->lchd = (*p);  
    (*p) = r;  
 } 
  
 void rotateR(pBinTree *p)//右旋转 
 { 
     pBinTree r; 
     r = (*p)->lchd; //r 为新的根
     
     (*p)->lchd = r->rchd; //新根节点的右孩子附到旧的根结点的左孩子
     r->rchd = (*p); 
     (*p) = r; 
}

两次旋转 对应图中3（左右）情况

 

需要旋转两次简单的左右旋转。基于上面代码就可以实现。

为了方便，AVL引入了BF（平衡因子）来调整树。只要出现非平衡树就调整，把不平衡消除最小的情况。

 下面就是通过判断BF来实现调整

  void BlanceLeft(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
 {  
     pBinTree nR,nRchd;  
     nR = (*p)->lchd;
      switch (nR->bf)  
     {  
        case LH:    //新插入的结点在左子树
         { 
             (*p)->bf = EH; 
             nR->bf = EH; 
             rotateR(p); 
             break; 
        } 
         case RH:    //新插入的结点在右子树
         { 
             nRchd = nR->rchd; 
             switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
             { 
                 case LH:// 
                 { 
                    (*p)->bf = RH; 
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
                } 
                 case EH:// 
                 { 
                     (*p)->bf = EH; 
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
                } 
                case RH: 
                { 
                     (*p)->bf = EH; 
                    nR->bf = LH; 
                    break; 
                 } 
             } 
             nRchd->bf = EH; 
             rotateL(&((*p)->lchd));
             rotateR(p); 
         } 
     } 
 } 
 void BlanceRight(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
{ 
     pBinTree nR,nRchd; 
    nR = (*p)->rchd; 
     
     switch (nR->bf){ 
    case RH:    //新插入的结点在左子树
        { 
            (*p)->bf = EH; 
             nR->bf = EH; 
             rotateL(p); 
             break;
         } 
     case LH:    //新插入的结点在右子树
         { 
            nRchd = nR->lchd; 
             switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
             { 
             case LH://
                 {
                    (*p)->bf = EH; 
                     nR->bf = RH; 
                     break; 
                 } 
             case EH:// 
                 { 
                     (*p)->bf = EH;
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
                 } 
             case RH: 
                 { 
                     (*p)->bf = LH; 
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
               } 
            } 
            nRchd->bf = EH; 
             rotateR(&((*p)->rchd)); 
            rotateL(p); 
         } 
     } 
 }

然后再就是插入算法，这里采用递归的方式插入。

bool InsertAVL(pBinTree *T,int key,bool *taller)  
 {  
    if (!*T)  
     {  
         *T = (pBinTree)malloc(sizeof(BinTree));  
         (*T)->data = key;  
         (*T)->bf   = EH;  8
         (*T)->lchd = NULL;  
         (*T)->rchd = NULL; 
        *taller = true; 
     } 
     else

     { 
         if (key  == (*T)->data) 
         { 
           *taller = false; 
             return false; 
         } 
         if (key < (*T)->data) 
        { 
             if (!InsertAVL(&((*T)->lchd),key,taller)) 
             { 
                 return false; 
             } 
             if (*taller) 
            { 
                 switch ((*T)->bf) 
                 { 
                 case LH: 
                     { 
                         BlanceLeft(T); 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 case EH: 
                    { 
                         (*T)->bf = LH; 
                         *taller = true; 
                         break; 
                    } 
                 case RH: 
                     { 
                         (*T)->bf = EH; 
                         *taller = false; 
                         break; 
                      }
                  }
             } 
         } 
         else // key > (*T)->data 
         { 
             if (!InsertAVL(&((*T)->rchd),key,taller)) 
             { 
                 return false; 
             } 
             if (*taller) 
             { 
                 switch ((*T)->bf) 
                 { 
                 case LH: 
                     { 
                         (*T)->bf = EH; 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 case EH: 
                     { 
                         (*T)->bf = RH; 
                         *taller = true; 
                         break; 
                     } 
                 case RH: 
                     { 
                           BlanceRight(T); 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 } 
 

             } 
         } 
     } 
     return true; 
 }    

以上的代码用switch case 显得非常的繁琐。会导致删除结点的程序判断BF调整非平衡的步骤更多。

以后添加删除部分代码。

完整代码：

 // AVL.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。   
 //   
 
  
 #include "stdafx.h"
  
 #include 
  #define LH  1
  #define EH  0
  #define RH -1
 
  typedef int dataType;   
 
  typedef struct BinTNode {  
     dataType data;  
     int bf;  
     struct BinTNode *lchd,*rchd;  
 }BinTree,*pBinTree;  
 
  void rotateL(pBinTree *p)  
 {  
     pBinTree r;  
     r = (*p)->rchd; //r 为新的根
 
     (*p)->rchd = r->lchd;  
     r->lchd = (*p);  
     (*p) = r;  
 }   
 
 void rotateR(pBinTree *p)  
 {  
     pBinTree r;  
     r = (*p)->lchd; //r 为新的根
      
      (*p)->lchd = r->rchd; //新根节点的右孩子附到旧的根结点的左孩子
      r->rchd = (*p);  
     (*p) = r;  
 }  
 
  void BlanceLeft(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
  {  
     pBinTree nR,nRchd;  
     nR = (*p)->lchd;  
     switch (nR->bf)  
     {  
         case LH:    //新插入的结点在左子树
          {  
             (*p)->bf = EH;  
             nR->bf = EH;  
             rotateR(p);  
             break;  
         }  
         case RH:    //新插入的结点在右子树
          {  
             nRchd = nR->rchd;  
             switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
              {  
                 case LH://  
                 {  
                     (*p)->bf = RH;  
                     nR->bf = EH;  
                     break;  
                 }  
                 case EH://  
                 {  
                     (*p)->bf = EH;  
                     nR->bf = EH;  
                     break;  
                 }  
                 case RH:  
                 {  
                     (*p)->bf = EH;  
                     nR->bf = LH;  
                     break;  
                 }  
             }  
             nRchd->bf = EH;  
             rotateL(&((*p)->lchd));  
             rotateR(p);  
         }  
     }  
 }  
 void BlanceRight(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
  {  
     pBinTree nR,nRchd;  
     nR = (*p)->rchd;  
     
 
     switch (nR->bf){  
     case RH:    //新插入的结点在左子树
 
         {  
             (*p)->bf = EH;  
             nR->bf = EH;  
             rotateL(p);  
             break;  
         }  
     case LH:    //新插入的结点在右子树
          {  
             nRchd = nR->lchd;  
             switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
              { 
             case LH:// 
                 { 
                     (*p)->bf = EH; 
                     nR->bf = RH; 
                     break; 
                 } 
             case EH:// 
                 { 
                     (*p)->bf = EH; 
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
                 } 
             case RH: 
                 { 
                     (*p)->bf = LH; 
                     nR->bf = EH; 
                     break; 
                 } 
             } 
             nRchd->bf = EH; 
             rotateR(&((*p)->rchd)); 
             rotateL(p); 
         } 
     } 
 } 
 
 bool InsertAVL(pBinTree *T,int key,bool *taller) 
 { 
     if (!*T) 
     { 
         *T = (pBinTree)malloc(sizeof(BinTree)); 
         (*T)->data = key; 
         (*T)->bf   = EH; 
         (*T)->lchd = NULL; 
         (*T)->rchd = NULL; 
         *taller = true; 
     } 
     else

     { 
         if (key  == (*T)->data) 
         { 
             *taller = false; 
             return false; 
         } 
         if (key < (*T)->data) 
         { 
             if (!InsertAVL(&((*T)->lchd),key,taller)) 
             { 
                 return false; 
             } 
             if (*taller) 
             { 
                 switch ((*T)->bf) 
                 { 
                 case LH: 
                     { 
                         BlanceLeft(T); 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 case EH: 
                     { 
                         (*T)->bf = LH; 
                         *taller = true; 
                         break; 
                     } 
                 case RH: 
                     { 
                         (*T)->bf = EH; 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 } 
 
             } 
         } 
         else // key > (*T)->data 
         { 
             if (!InsertAVL(&((*T)->rchd),key,taller)) 
             { 
                 return false; 
             } 
             if (*taller) 
             { 
                 switch ((*T)->bf) 
                 { 
                 case LH: 
                     { 
                         (*T)->bf = EH; 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 case EH: 
                     { 
                         (*T)->bf = RH; 
                         *taller = true; 
                         break; 
                     } 
                 case RH: 
                     { 
                           BlanceRight(T); 
                         *taller = false; 
                         break; 
                     } 
                 } 
 
             } 
         } 
     } 
     return true; 
 } 
 
 
 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) 
 { 
     int a[10] = {2,1,0,3,4,6,7,9,8,5}; 
     int i; 
     bool taller; 
     pBinTree T = NULL; 
 
     for (i=0;i<10;i++) 
     { 
         InsertAVL(&T,a[i],&taller); 
     } 
     getchar(); 
     return 0; 
 }