查找——平衡二叉树（AVL）
排序二叉树对于我们寻找无序序列中的元素的效率有了大大的提高。查找的最差情况是树的高度。这里就有问题了，将无序数列转化为
二叉排序树的时候，树的结构是非常依赖无序序列的顺序，这样会出现极端的情况。
【如图1】：
这样的一颗二叉排序树就是一颗比较极端的情况。我们在查找时候，效率依赖树的高度，所以不希望这样极端情况出现，而是希望元素比较均匀
的分布在根节点两端。
技术参考：fun4257.com/
问题提出：
能不能有一种方法，使得我们的二叉排序树不依赖无序序列的顺序，也能使得我们得到的二叉排序树是比较均匀的分布。
引入：
平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），是一种特殊的二叉排序树，其中每一个结点的
左子树和右子树的高度差至多等于1.
这里的平衡从名字中可以看出，Height-Balanced是高度平衡。
它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1.
若将二叉树上的结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只
可能是-1、0、1。否则就不是平衡二叉树。
上图图1中，就不是平衡二叉树。
以图1来看看各个结点的平衡因子。
【如下图2】：
技术参考：fun1404.com
如何构成平衡二叉树？
从转化为平衡二叉树的过程中可以提炼出转化的几个基本情况：
下图是在维基百科上摘录的：
可以看出调整的操作分两大类，前两个是一组，后两个是一组，每组之间是对称的。
前两个是对应上图1 2 中情况，
后两个是对应上图5 6 中情况。
分别以其中一种旋转为例，另一种对应的旋转对称。
单次左旋：对应上图1（左左）中情况
简单左右旋转代码：（只有一次）
void rotateL(pBinTree *p)//左旋转
{
pBinTree r;
r = (*p)->rchd; //r 为新的根
(*p)->rchd = r->lchd;
r->lchd = (*p);
(*p) = r;
}
void rotateR(pBinTree *p)//右旋转
{
pBinTree r;
r = (*p)->lchd; //r 为新的根
(*p)->lchd = r->rchd; //新根节点的右孩子附到旧的根结点的左孩子
r->rchd = (*p);
(*p) = r;
}
两次旋转 对应图中3（左右）情况
需要旋转两次简单的左右旋转。基于上面代码就可以实现。
为了方便，AVL引入了BF（平衡因子）来调整树。只要出现非平衡树就调整，把不平衡消除最小的情况。
下面就是通过判断BF来实现调整
void BlanceLeft(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
{
pBinTree nR,nRchd;
nR = (*p)->lchd;
switch (nR->bf)
{
case LH: //新插入的结点在左子树
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
rotateR(p);
break;
}
case RH: //新插入的结点在右子树
{
nRchd = nR->rchd;
switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
{
case LH://
{
(*p)->bf = RH;
nR->bf = EH;
break;
}
case EH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
break;
}
case RH:
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = LH;
break;
}
}
nRchd->bf = EH;
rotateL(&((*p)->lchd));
rotateR(p);
}
}
}
void BlanceRight(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
{
pBinTree nR,nRchd;
nR = (*p)->rchd;
switch (nR->bf){
case RH: //新插入的结点在左子树
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
rotateL(p);
break;
}
case LH: //新插入的结点在右子树
{
nRchd = nR->lchd;
switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
{
case LH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = RH;
break;
}
case EH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
break;
}
case RH:
{
(*p)->bf = LH;
nR->bf = EH;
break;
}
}
nRchd->bf = EH;
rotateR(&((*p)->rchd));
rotateL(p);
}
}
}
然后再就是插入算法，这里采用递归的方式插入。
bool InsertAVL(pBinTree *T,int key,bool *taller)
{
if (!*T)
{
*T = (pBinTree)malloc(sizeof(BinTree));
(*T)->data = key;
(*T)->bf = EH; 8
(*T)->lchd = NULL;
(*T)->rchd = NULL;
*taller = true;
}
else
{
if (key == (*T)->data)
{
*taller = false;
return false;
}
if (key < (*T)->data)
{
if (!InsertAVL(&((*T)->lchd),key,taller))
{
return false;
}
if (*taller)
{
switch ((*T)->bf)
{
case LH:
{
BlanceLeft(T);
*taller = false;
break;
}
case EH:
{
(*T)->bf = LH;
*taller = true;
break;
}
case RH:
{
(*T)->bf = EH;
*taller = false;
break;
}
}
}
}
else // key > (*T)->data
{
if (!InsertAVL(&((*T)->rchd),key,taller))
{
return false;
}
if (*taller)
{
switch ((*T)->bf)
{
case LH:
{
(*T)->bf = EH;
*taller = false;
break;
}
case EH:
{
(*T)->bf = RH;
*taller = true;
break;
}
case RH:
{
BlanceRight(T);
*taller = false;
break;
}
}
}
}
}
return true;
}
以上的代码用switch case 显得非常的繁琐。会导致删除结点的程序判断BF调整非平衡的步骤更多。
以后添加删除部分代码。
完整代码：
// AVL.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//
#include "stdafx.h"
#include
#define LH 1
#define EH 0
#define RH -1
typedef int dataType;
typedef struct BinTNode {
dataType data;
int bf;
struct BinTNode *lchd,*rchd;
}BinTree,*pBinTree;
void rotateL(pBinTree *p)
{
pBinTree r;
r = (*p)->rchd; //r 为新的根
(*p)->rchd = r->lchd;
r->lchd = (*p);
(*p) = r;
}
void rotateR(pBinTree *p)
{
pBinTree r;
r = (*p)->lchd; //r 为新的根
(*p)->lchd = r->rchd; //新根节点的右孩子附到旧的根结点的左孩子
r->rchd = (*p);
(*p) = r;
}
void BlanceLeft(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
{
pBinTree nR,nRchd;
nR = (*p)->lchd;
switch (nR->bf)
{
case LH: //新插入的结点在左子树
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
rotateR(p);
break;
}
case RH: //新插入的结点在右子树
{
nRchd = nR->rchd;
switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
{
case LH://
{
(*p)->bf = RH;
nR->bf = EH;
break;
}
case EH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
break;
}
case RH:
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = LH;
break;
}
}
nRchd->bf = EH;
rotateL(&((*p)->lchd));
rotateR(p);
}
}
}
void BlanceRight(pBinTree *p)//从最小非平衡树开始调整
{
pBinTree nR,nRchd;
nR = (*p)->rchd;
switch (nR->bf){
case RH: //新插入的结点在左子树
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
rotateL(p);
break;
}
case LH: //新插入的结点在右子树
{
nRchd = nR->lchd;
switch(nRchd->bf)//增加结点是nR的左孩子还是右孩子？
{
case LH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = RH;
break;
}
case EH://
{
(*p)->bf = EH;
nR->bf = EH;
break;
}
case RH:
{
(*p)->bf = LH;
nR->bf = EH;
break;
}
}
nRchd->bf = EH;
rotateR(&((*p)->rchd));
rotateL(p);
}
}
}
bool InsertAVL(pBinTree *T,int key,bool *taller)
{
if (!*T)
{
*T = (pBinTree)malloc(sizeof(BinTree));
(*T)->data = key;
(*T)->bf = EH;
(*T)->lchd = NULL;
(*T)->rchd = NULL;
*taller = true;
}
else
{
if (key == (*T)->data)
{
*taller = false;
return false;
}
if (key < (*T)->data)
{
if (!InsertAVL(&((*T)->lchd),key,taller))
{
return false;
}
if (*taller)
{
switch ((*T)->bf)
{
case LH:
{
BlanceLeft(T);
*taller = false;
break;
}
case EH:
{
(*T)->bf = LH;
*taller = true;
break;
}
case RH:
{
(*T)->bf = EH;
*taller = false;
break;
}
}
}
}
else // key > (*T)->data
{
if (!InsertAVL(&((*T)->rchd),key,taller))
{
return false;
}
if (*taller)
{
switch ((*T)->bf)
{
case LH:
{
(*T)->bf = EH;
*taller = false;
break;
}
case EH:
{
(*T)->bf = RH;
*taller = true;
break;
}
case RH:
{
BlanceRight(T);
*taller = false;
break;
}
}
}
}
}
return true;
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int a[10] = {2,1,0,3,4,6,7,9,8,5};
int i;
bool taller;
pBinTree T = NULL;
for (i=0;i<10;i++)
{
InsertAVL(&T,a[i],&taller);
}
getchar();
return 0;
}