二叉排序树

二叉排序树（BST，Binary Sort Tree）具有这样的性质：对于二叉树中的任意节点，如果它有左子树或右子树，则该节点的数据成员大于左子树所有节点的数据成员，且小于右子树所有节点的数据成员。排序二叉树的中序遍历结果是从小到大排列的。

二叉排序树的查找和插入比较好理解，主要来看一下删除时的情况。

如果需要查找并删除如图8-6-8中的37， 51， 73，93这些在二叉排序树中是叶子的结点，那是很容易的，毕竟删除它们对整棵树来说，其他结点的结构并未受到影响。

对于要删除的结点只有左子树或只有右子树的情况，相对也比较好解决。那就是结点删除后，将它的左子树或右子树整个移动到删除结点的位置即可，可以理解为独子继承父业。比如图8-6-9，就是先删除35和99两结点，再删除58结点的变化图，最终，整个结构还是一个二叉排序树。

但是对于要删除的结点既有左子树又有右子树的情况怎么办呢？比如图8-6-10中的47结点若要删除了，它的两儿子和子孙们怎么办呢？

前人总结的比较好的方法就是，找到需要删除的结点p的直接前驱（或直接后继）s，用s来替换结点p，然后再删除此结点s，如图8-6-12所示。

注意：这里的前驱和后继是指中序遍历时的顺序。

Deletion

There are three possible cases to consider:

• Deleting a leaf (node with no children): Deleting a leaf is easy, as we can simply remove it from the tree.

• Deleting a node with one child: Remove the node and replace it with its child.

• Deleting a node with two children: Call the node to be deleted N. Do not delete N. Instead, choose either its in-order successor node or its in-

order predecessor node, R. Replace the value of N with the value of R, then delete R.

As with all binary trees, a node's in-order successor is the left-most child of its right subtree, and a node's in-order predecessor is the right-most 

child of its left subtree. In either case, this node will have zero or one children. Delete it according to one of the two simpler cases above.

下面来看代码：（参考《linux c 编程一站式学习》

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.h     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:05:55 PM CST  ************************************************************************/ #ifndef BST_H #define BST_H typedef struct node *link; struct node {     unsigned char item;     link left, right; }; link search(link t, unsigned char key); link insert(link t, unsigned char key); link delete(link t, unsigned char key); void print_tree(link t); #endif

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

/*************************************************************************     > File Name: binarysearchtree.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:08:08 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include "binarysearchtree.h" static link make_node(unsigned char item) {     link p = malloc(sizeof(*p));     p->item = item;     p->left = p->right = NULL;     return p; } static void free_node(link p) {     free(p); } link search(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key)         return search(t->left, key);     if (t->item < key)         return search(t->right, key);     /* if (t->item == key) */     return t; } link insert(link t, unsigned char key) {     if (!t)         return make_node(key);     if (t->item > key) /* insert to left subtree */         t->left = insert(t->left, key);     else /* if (t->item <= key), insert to right subtree */         t->right = insert(t->right, key);     return t; } link delete(link t, unsigned char key) {     link p;     if (!t)         return NULL;     if (t->item > key) /* delete from left subtree */         t->left = delete(t->left, key);     else if (t->item < key) /* delete from right subtree */         t->right = delete(t->right, key);     else   /* if (t->item == key) */     {         if (t->left == NULL && t->right == NULL)         {             /* if t is a leaf node */             free_node(t);             t =  NULL;         }         else if (t->left)  /* if t has left subtree */         {             /* replace t with the rightmost node in left subtree */             for (p = t->left; p->right; p = p->right);             t->item = p->item; /* 将左子树下最靠右的节点值赋予想要删除的节点 */             t->left = delete(t->left, t->item);          }                  else  /* if t has right subtree */         {             /* replace t with the leftmost node in right subtree */             for (p = t->right; p->left; p = p->left);             t->item = p->item;             t->right = delete(t->right, t->item);         }     }     return t; } void print_tree(link t) {     if (t)     {         printf("(");         printf("%d", t->item);         print_tree(t->left);         print_tree(t->right);         printf(")");     }     else         printf("()"); }

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

/*************************************************************************     > File Name: main2.c     > Author: Simba     > Mail: dameng34@163.com     > Created Time: Sat 29 Dec 2012 06:22:57 PM CST  ************************************************************************/ #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include "binarysearchtree.h" #define RANGE 100 #define N 6 void print_item(link p) {     printf("%d", p->item); } int main(void) {     int i, key;     link root = NULL;     srand(time(NULL));     for (i = 0; i < N; i++)     {         root = insert(root, rand() % RANGE); /* 第一次循环root从NULL变成根节点值，接下去                                                 的循环虽然迭代root，但在插入节点过程中root的值始终不变 */         printf("root = 0x%x ", (unsigned int)root);     }     printf(" \tree");     print_tree(root);     printf(" ");     while (root)     {         key = rand() % RANGE;         if (search(root, key))         {             printf("delete %d in tree ", key);             root = delete(root, key); /* root虽然迭代，但返回的仍是先前的值，即根节点的值保持不变                                          直到全部节点被删除，root变成NULL即0x0 */             printf("root = 0x%x ", (unsigned int)root);             printf(" \tree");             print_tree(root); /* 传递给函数的一直是根节点的值，直到树清空，root变成NULL */             printf(" ");         }     }     return 0; }

输出为：

如果我们使用了The Tree Preprocessor，可以将以括号展示的排序二叉树转换成树形展示，如下图

以前此工具可以在 http://www.essex.ac.uk/linguistics/clmt/latex4ling/trees/tree/ 下载，现已找不到链接，我将其上传到csdn，需要的可以去下载。

http://download.csdn.net/detail/simba888888/5334093

最后提一下，我们希望构建出来的二叉排序树是比较平衡的，即其深度与完全二叉树相同，那么查找的时间复杂度研究度O(logn)，近似于折半查找，

但如果出现构造的树严重不平衡，如完全是左斜树或者右斜树，那么查找时间复杂度为O(n)，近似于顺序查找。那如何让二叉排序树平衡呢？

事实上还有一种平衡二叉树（AVL树），也是一种二叉排序树，其中每个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1。

补充：delete() 在《data structure and algorithm analysis in c》 中的实现，个人觉得比较清晰，也挺好理解的，如下：

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

link FindMin(link T) {     if (T != NULL)         while (T->left != NULL)             T = T->left;     return T; } link delete(unsigned char X, link T) {     link tmp;     if (T == NULL)     {         printf("Tree is empty! ");         return NULL;     }     if (X < T->key) //go left         T->left = delete(X, T->left);     else if (X > T->key) // go right         T->right = delete(X, T->right);     /* found elem to be deleted*/     else if (T->left && T->right) //have two children     {         // replace with smallest in right subtree         tmp = FindMin(T->right);         T->key = tmp->key;         T->right = delete(T->key, T->right);     }     else //one or zero children     {         tmp = T;         if (T->left == NULL)             T = T->right;         else if (T->right == NULL)             T = T->left;         free(tmp);     }     return T; }

参考：

《大话数据结构》

《linux c 编程一站式学习》

《Data Structures》