[15/08/19] BSGS & ex-BSGS 学习笔记

　　BSGS

　　(BSGS()(Baby) (Step) (Gaint) (Step)),大步超大步小步算法，是求高次同余方程最小正整数解的一种常用算法。通常被用于求解形如使方程 (a^x equiv y (mod) (p)) （(p) ⊥ (a) ）成立的最小 (x)。

　　(BSGS) 算法的实现过程类似数学中的缩放法，将待求的指数 (x) 化为 (a sqrt p + b)，通过枚举 (a) 来求解。

　　具体过程如下：

　　　　一：

　　　　(large a^x equiv y (mod) (large p))

　　　　(large a^{ klceil frac x k ceil-(klceil frac x k ceil-x)}equiv y (mod) (large p))　　(large (k=lceil sqrt p ceil))

　　　　(large {(a^k)}^n*a^{-m} equiv y (mod) (large p))　　(large (n=lceil frac x k ceil,m=klceil frac x k ceil-x))

　　　　(large {(a^k)}^n equiv inv_{(a^{-m})}*y=a^{m}*y)

　　　　

　　　　二：

　　　　设 (large k=lceil sqrt p ceil)，(x=n*k-m)，(nin [1,k))，(min [1,k))

　　　　则求 (large {(a^k)}^n equiv inv_{(a^{-m})}*y=a^{m}*y)

　　　　

　　于是我们便可以从前往后枚举 (m) 以 (y*(a^m)modp) 为下标，(m) 为值存入一个 (map) 中（预处理），再枚举 (n) ，若存在 (map[{(a^k)}^n])，则 (x=n*k-map[{(a^k)}^n]).

　　复杂度 (O(sqrt p log p))

Code:

//P3846
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p,x,y,k,n,a;
map<int,int>M;
int qp(int x,int y){
    int s=1;
    while(y){if(y&1)s=1ll*s*x%p;x=1ll*x*x%p;y>>=1;}
    return s;
}
int main(){
    cin>>p>>a>>y;
    int k=ceil(sqrt(p));n=y;
    for(int i=0;i<k;i++){         //预处理 
        M[n]=i;
        n=1ll*n*a%p;
    }
    int t=qp(a,k);x=1;
    for(int i=1;i<=k;i++){       //枚举答案 
        x=1ll*x*t%p;
        if(M.count(x)){printf("%d
",i*k-M[x]);return 0;}
    }
    puts("no solution");return 0;
}